心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

同じ 25 人の参加者がカフェインの前と後に記憶テストを受けます。得点は間隔尺度でほぼ正規分布です。適切な検定はどれですか？

A対応のない t 検定
Bカイ二乗検定
C対応のある t 検定
Dマン・ホイットニーの U 検定

2.心理学研究法むずかしい

質的研究における再帰性（リフレクシビティ）とは、研究者が何をすることですか？

Aバイアスを除くために無作為標本を使う
B信頼性を確認するために研究を繰り返す
Cテーマを数値データに変換する
D自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：27, 44, 46, 22, 25, 56, 17。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。62 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 12x = 62

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.2, 0.15

Var(X) =

6.確率むずかしい

部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.7 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.7

P =

7.正規分布ふつう

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。490 から 560 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 560

P =

8.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

9.信頼区間ふつう

13 個からなる標本の平均は 104.5、標準偏差は s = 18 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 13x̄ = 104.5s = 1895%t(12) = 2.179

下限 =

10.信頼区間むずかしい

予備調査によると、製品の約 0.15 が不良品です。割合の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.025 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p ≈ 0.15E = 0.02595%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 77、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 77s = 20n = 49

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

49 回の測定の標本平均は 46.7 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 46.7σ = 12n = 4999%

U =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 5.5

ŷ =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1602 × 3

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、10 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.05

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · 対応のある t 検定

これが答えになる理由

対応のある t 検定は、各人の中での差を使って、2 つの条件での同じ参加者の平均を比べます。

答え

C · 対応のある t 検定

2.心理学研究法

答え: D · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

これが答えになる理由

再帰性は、データ収集と解釈に対する研究者の影響を認めるもので、質的研究の重要な質の基準です。

答え

D · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

3.記述統計

答え: s = 14.67

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 237/7 = 33.86

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−6.857)² + 10.14² + 12.14² + (−11.86)² + (−8.857)² + 22.14² + (−16.86)² = 1291

標準偏差

s = √(1291/6) = 14.67

答え

s = 14.67

4.記述統計

答え: z = 1

標準化する

z = (62 − 50)/12 = 1

答え

z = 1

5.確率

答え: Var(X) = 1.128

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.2 + 4·0.15 = 2.15

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.2 + 16·0.15 = 5.75

分散

Var(X) = 5.75 − 2.15² = 1.128

答え

Var(X) = 1.128

6.確率

答え: P = 4.724 × 10⁻⁵

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.3¹¹ = 1.771 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 11·0.7·0.3¹⁰ = 4.547 × 10⁻⁵

足し合わせる

P = 1.771 × 10⁻⁶ + 4.547 × 10⁻⁵ = 4.724 × 10⁻⁵

答え

P = 4.724 × 10⁻⁵

7.正規分布

答え: P = 0.5319

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25

z₂ = (560 − 500)/40 = 1.5

間の面積

P = Φ(1.5) − Φ(−0.25) = 0.9332 − 0.4013 = 0.5319

答え

P = 0.5319

8.正規分布

答え: x = 466.3 h

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

x に戻す

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

答え

x = 466.34 h

9.信頼区間

答え: 下限 = 93.62

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 12, t = 2.179

誤差の幅

E = 2.179·18/√13 = 10.88

区間

104.5 ± 10.88 → [93.62, 115.4]

答え

下限 = 93.62

10.信頼区間

答え: n = 784

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.96²·0.15·0.85/0.025² = 783.7

切り上げる

n = 784

答え

n = 784

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.7

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

検定統計量

t = (77 − 75)/2.857 = 0.7

答え

t = 0.7

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: U = 51.12

誤差の幅

E = 2.576·12/√49 = 4.416

区間の端

U = 46.7 + 4.416 = 51.12

答え

U = 51.12

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.9949

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 398/5 = 79.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1135

相関係数

r = 212/√(40·1135) = 0.9949

答え

r = 0.9949

14.線形回帰と相関

答え: ŷ = 49.15

平均

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 281/6 = 46.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40.5

回帰直線

b = 40.5/17.5 = 2.314

a = 46.83 − 2.314·4.5 = 36.42

ŷ = 36.42 + 2.314·x

予測

ŷ = 36.42 + 2.314·5.5 = 49.15

答え

ŷ = 49.15

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 12.59

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

日勤: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15

夜勤: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25

カイ二乗統計量

χ² = (40 − 30)²/30 + (13 − 15)²/15 + (7 − 15)²/15 + (40 − 50)²/50 + (27 − 25)²/25 + (33 − 25)²/25

χ² = 12.59

答え

χ² = 12.59

df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 16.92

自由度

df = 10 − 1 = 9

表

χ²_crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919

答え

χ²_crit = 16.919

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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