記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
テストが簡単すぎて、ほとんどすべての参加者が満点近くをとります。これを何と呼びますか？
- A練習効果
- B床効果
- C天井効果
- D順序効果
2.心理学研究法むずかしい
大きさの等しい 2 つの独立した群について、ある研究が t(28) = 2.50, p = .018 と報告しています。参加者は何人でしたか？
- A28
- B30
- C56
- D29
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：51, 19, 46, 35, 16。
n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。90 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100σ = 5x = 90
z =
5.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35
σ =
6.確率むずかしい
ゲームの参加費は €2 です。確率 0.15 で €8、確率 0.05 で €40 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €2€8: p = 0.15€40: p = 0.05
E(G) = €
7.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。440 から 540 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 540
P =
8.正規分布むずかしい
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 100σ = 15P = 75%
x = 点
9.信頼区間ふつう
12 個からなる標本の平均は 114、標準偏差は s = 8 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 12x̄ = 114s = 890%t(11) = 1.796
E =
10.信頼区間むずかしい
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.4 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
n = 21s = 5.4 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
11.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 100 であると主張されています。母標準偏差は 12.5 であることがわかっています。25 個の観測値からなる無作為標本の平均は 105.75 です。H₀: μ = 100 対 H₁: μ ≠ 100 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 100σ = 12.5n = 25x̄ = 105.75H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 200 人中 40 人、治療 B の患者 250 人中 65 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 65n₂ = 250
z =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5Σx = 105Σy = 557Σx² = 2245Σy² = 63371Σxy = 11921
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 11 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 6x = 11
ŷ =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 802 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、4 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。 表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: C · 天井効果
これが答えになる理由
天井効果は、誰もそれ以上の得点をとれないため、条件間の違いを隠してしまいます。床効果はその逆で、課題が難しすぎる場合です。
答え
C · 天井効果
2.心理学研究法
答え: B · 30
これが答えになる理由
自由度 28 は 28 + 2 = 30 人の参加者を意味し、各群は 15 人です。
答え
B · 30
3.記述統計
答え: s = 15.66
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 167/5 = 33.4
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 17.6² + (−14.4)² + 12.6² + 1.6² + (−17.4)² = 981.2
標準偏差
s = √(981.2/4) = 15.66
答え
s = 15.66
4.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (90 − 100)/5 = −2
答え
z = −2
5.確率
答え: σ = 12.04
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 10·0.25 + 20·0.35 + 30·0.05 + 40·0.35 = 25
2 乗の平均
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.35 + 900·0.05 + 1600·0.35 = 770
分散
Var(X) = 770 − 25² = 145
σ = √145 = 12.04
答え
σ = 12.04
6.確率
答え: E(G) = 1.2 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 6 (p = 0.15), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)
期待値
E(G) = 6·0.15 + 38·0.05 − 2·0.8 = 1.2 €
答え
E(G) = 1.2 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
7.正規分布
答え: P = 0.7745
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5
z₂ = (540 − 500)/40 = 1
間の面積
P = Φ(1) − Φ(−1.5) = 0.8413 − 0.06681 = 0.7745
答え
P = 0.7745
8.正規分布
答え: x = 110.1 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
x に戻す
x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 点
答え
x = 110.12 点
9.信頼区間
答え: E = 4.148
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 11, t = 1.796
誤差の幅
E = 1.796·8/√12 = 4.148
答え
E = 4.148
10.信頼区間
答え: σ = 7.798 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 20·5.4² = 583.2
σ² の限界
583.2/34.17 = 17.07
583.2/9.591 = 60.81
σ の限界
σ = √60.81 = 7.798 µm
答え
σ = 7.798 µm
σ の 95% 区間：[4.131, 7.798] µm。
11.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.02145
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 12.5/√25 = 2.5
z = (105.75 − 100)/2.5 = 2.3
裾の面積
Φ(2.3) = 0.9893
1 − Φ(2.3) = 0.0107
p 値
p = 2·0.0107 = 0.02145
答え
p = 0.02145
p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。
12.仮説検定と信頼区間
答え: z = −1.495
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率
p̂₁ = 40/200 = 0.2
p̂₂ = 65/250 = 0.26
p̂ = 105/450 = 0.2333
H₀ のもとでの標準誤差
SE = √(0.2333·0.7667·(1/200 + 1/250)) = 0.04012
検定統計量
z = (0.2 − 0.26)/0.04012 = −1.495
答え
z = −1.495
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9744
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
偏差平方和・偏差積和
Sxy = 11921 − 105·557/5 = 224
Sxx = 2245 − 105²/5 = 40
Syy = 63371 − 557²/5 = 1321
相関係数
r = 224/√(40·1321) = 0.9744
答え
r = 0.9744
14.線形回帰と相関
答え: ŷ = 25.9
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17.33
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
回帰直線
b = 150/70 = 2.143
a = 17.33 − 2.143·7 = 2.333
ŷ = 2.333 + 2.143·x
予測
ŷ = 2.333 + 2.143·11 = 25.9
答え
ŷ = 25.9
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 4.647
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
日勤: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14
夜勤: 40·16/80 = 8, 40·36/80 = 18, 40·28/80 = 14
カイ二乗統計量
χ² = (5 − 8)²/8 + (17 − 18)²/18 + (18 − 14)²/14 + (11 − 8)²/8 + (19 − 18)²/18 + (10 − 14)²/14
χ² = 4.647
答え
χ² = 4.647
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 11.35
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 4 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
答え
χ²crit = 11.345
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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