心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

生態学的妥当性とは何を指しますか？

Aテストが将来の行動を予測するか
Bテストが正しいものを測っているように見えるか
Cテストが時間を通じてどれだけ一貫しているか
D結果が現実の生活場面にどれだけ一般化できるか

2.心理学研究法むずかしい

研究者は、新しい教授法がよりよい成績を引き起こすかを検証したいのですが、学生を無作為化できません。この状況で最も強い因果的証拠を与えるデザインはどれですか？

A比較群を設け、前後で測定した、条件をそろえたクラスを比べる
B授業後に新しい方法を使ったクラスだけを測定する
C成績を学生が教師をどれだけ好きかと相関させる
D学生にその方法が効いたと思うか尋ねる

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：45, 38, 15, 26, 13, 23, 55。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 10 の正規分布に従います。45 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 10x = 45

P =

5.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.35, 0.15

σ =

6.確率むずかしい

部品を 11 個試験し、各部品は独立に確率 0.25 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 11p = 0.25

P =

7.正規分布ふつう

X は平均 120 mm、標準偏差 0.3 mm の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 80 mm、標準偏差 0.4 mm の正規分布に従います。X + Y が 199.5 mm を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.5 mm

P =

8.正規分布むずかしい

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 20% がそれより下にある値 x（第 20 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.信頼区間ふつう

7 個からなる標本の平均は 89、標準偏差は s = 4 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 7x̄ = 89s = 499%t(6) = 3.707

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 22 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 22E = 590%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 117.4、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 117.4s = 10n = 49

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

H₀: μ = 200 対 H₁: μ < 200 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 198.5 です。第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 200μ = 198.5σ = 5n = 100α = 0.01

β = %

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 9 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 9

ŷ =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「学生、自転車」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 120列の合計 = 64N = 214

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、7 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。この検定の自由度 df はいくつですか？

k = 7

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: D · 結果が現実の生活場面にどれだけ一般化できるか

これが答えになる理由

生態学的妥当性は、結果が日常場面に当てはまるかどうかに関わります。厳しく統制された実験室研究はこの点で低いことがよくあります。

答え

D · 結果が現実の生活場面にどれだけ一般化できるか

2.心理学研究法

答え: A · 比較群を設け、前後で測定した、条件をそろえたクラスを比べる

これが答えになる理由

不等価群事前事後テストデザインは、最初の違いと時間による変化を統制しますが、無作為化実験よりは弱いです。

答え

A · 比較群を設け、前後で測定した、条件をそろえたクラスを比べる

3.記述統計

答え: s = 15.76

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 215/7 = 30.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 14.29² + 7.286² + (−15.71)² + (−4.714)² + (−17.71)² + (−7.714)² + 24.29² = 1489

標準偏差

s = √(1489/6) = 15.76

答え

s = 15.76

4.記述統計

答え: P = 0.06681

標準化する

z = −1.5

標準正規分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

答え

P = 0.06681

5.確率

答え: σ = 1.062

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.3 + 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.15 = 1.35

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.15 = 2.95

分散

Var(X) = 2.95 − 1.35² = 1.128

σ = √1.128 = 1.062

答え

σ = 1.062

6.確率

答え: P = 0.1971

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.75¹¹ = 0.04224

P(X = 1) = 11·0.25·0.75¹⁰ = 0.1549

足し合わせる

P = 0.04224 + 0.1549 = 0.1971

答え

P = 0.1971

7.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

標準化する

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

上側確率

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答え

P = 0.8413

8.正規分布

答え: x = 26.95 min

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

x に戻す

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

答え

x = 26.95 min

9.信頼区間

答え: E = 5.604

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 6, t = 3.707

誤差の幅

E = 3.707·4/√7 = 5.604

答え

E = 5.604

10.信頼区間

答え: n = 53

n について解く

n = (1.645·22/5)² = 52.39

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 53

答え

n = 53

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.82

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

検定統計量

t = (117.4 − 120)/1.429 = −1.82

答え

t = −1.82

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: β = 25.02 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 200 − 2.326·0.5 = 198.8

真の平均のもとでの z

z = (198.8 − 198.5)/0.5 = 0.674

第 2 種の誤り

検出力 = P(Z < 0.674) = 74.98%

β = 100% − 74.98% = 25.02%

答え

β = 25.02%

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9735

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 439/6 = 73.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 407

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2431

決定係数

r² = 407²/(70·2431) = 0.9735

答え

r² = 0.9735

y の変動の約 97.35% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: ŷ = 17.44

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 82/6 = 13.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

回帰直線

b = 132/70 = 1.886

a = 13.67 − 1.886·7 = 0.4667

ŷ = 0.4667 + 1.886·x

予測

ŷ = 0.4667 + 1.886·9 = 17.44

答え

ŷ = 17.44

15.カイ二乗検定

答え: E = 35.89

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 120·64/214 = 35.89

答え

E = 35.89

16.カイ二乗検定

答え: df = 6

自由度

df = 7 − 1 = 6

答え

df = 6

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