心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

アメリカの学部生だけで行った研究に欠けている可能性があるのはどれですか？

A母集団的妥当性
B内的一貫性
C内容的妥当性
D評定者間信頼性

2.心理学研究法むずかしい

運動はうつを減らします。その効果は、運動が睡眠を改善し、それがうつを下げることによって起こります。睡眠は何と表現するのが最も適切ですか？

A媒介変数（メディエーター）
B統制変数
C剰余変数
D調整変数（モデレーター）

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 23, 44, 57, 27, 43。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。575 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 60x = 575

P =

5.確率ふつう

6 人のグループから 4 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。

n = 6k = 4

N =

6.確率むずかしい

ゲームの参加費は €10 です。確率 0.2 で €40、確率 0.02 で €200 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €10€40: p = 0.2€200: p = 0.02

E(G) = €

7.正規分布ふつう

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 35.1 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

8.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの上位 10% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

9.信頼区間ふつう

8 個からなる標本の平均は 120、標準偏差は s = 12 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 8x̄ = 120s = 1299%t(7) = 3.499

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 29 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 29E = 2.595%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 502.1、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 502.1s = 5n = 16

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

H₀: μ = 200 対 H₁: μ > 200 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 20 であることがわかっています。実際の平均は 204.25 です。検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 200μ = 204.25σ = 20n = 64α = 0.05

1 − β = %

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 29 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 29

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1602 × 3

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、5 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · 母集団的妥当性

これが答えになる理由

母集団的妥当性は外的妥当性の一種です。ほとんどが若く、西洋の、教育を受けた人々からなる標本は、ほかの人々を代表しないかもしれません。

答え

A · 母集団的妥当性

2.心理学研究法

答え: A · 媒介変数（メディエーター）

これが答えになる理由

媒介変数は予測変数と結果の間の因果経路上にあり、効果がどのように、あるいはなぜ起こるのかを説明します。

答え

A · 媒介変数（メディエーター）

3.記述統計

答え: s = 15.24

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 211/6 = 35.17

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−18.17)² + (−12.17)² + 8.833² + 21.83² + (−8.167)² + 7.833² = 1161

標準偏差

s = √(1161/5) = 15.24

答え

s = 15.24

4.記述統計

答え: P = 0.1056

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056

5.確率

答え: N = 15

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

組合せ

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

答え

N = 15

6.確率

答え: E(G) = 2 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 30 (p = 0.2), 190 (p = 0.02), −10 (p = 0.78)

期待値

E(G) = 30·0.2 + 190·0.02 − 10·0.78 = 2 €

答え

E(G) = 2 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: P = 0.1075

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

上側確率

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

答え

P = 0.1075

8.正規分布

答え: x = 256.4 g

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.9

表からの z

z ≈ 1.28

元の単位に戻す

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

答え

x = 256.4 g

9.信頼区間

答え: E = 14.84

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 3.499

誤差の幅

E = 3.499·12/√8 = 14.84

答え

E = 14.84

10.信頼区間

答え: n = 517

n について解く

n = (1.96·29/2.5)² = 516.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 517

答え

n = 517

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.68

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25

検定統計量

t = (502.1 − 500)/1.25 = 1.68

答え

t = 1.68

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 52.19 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 20/√64 = 2.5

x̄_c = 200 + 1.645·2.5 = 204.1

真の平均のもとでの z

z = (204.1 − 204.25)/2.5 = −0.055

電力

検出力 = P(Z > −0.055) = 52.19%

1 − β = 52.19%

答え

1 − β = 52.19%

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.9891

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 298/5 = 59.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 309.2

相関係数

r = 110/√(40·309.2) = 0.9891

答え

r = 0.9891

14.線形回帰と相関

答え: x = 7.095

平均

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

回帰直線

b = 168/40 = 4.2

a = 24.4 − 4.2·6 = −0.8

ŷ = −0.8 + 4.2·x

x について解く

x = (29 − (−0.8))/4.2 = 7.095

答え

x = 7.095

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 10.62

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

日勤: 120·40/160 = 30, 120·56/160 = 42, 120·64/160 = 48

夜勤: 40·40/160 = 10, 40·56/160 = 14, 40·64/160 = 16

カイ二乗統計量

χ² = (23 − 30)²/30 + (42 − 42)²/42 + (55 − 48)²/48 + (17 − 10)²/10 + (14 − 14)²/14 + (9 − 16)²/16

χ² = 10.62

答え

χ² = 10.62

df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 11.35

自由度

df = 5 − 1 − 1 = 3

表

χ²_crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345

答え

χ²_crit = 11.345

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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