心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

所得のような正に歪んだ分布ではどうなりますか？

A平均値と中央値は常に等しい
B極端な得点がない
C平均値が中央値より大きい
D平均値が中央値より小さい

2.心理学研究法むずかしい

ある研究で、ストレスが病気に及ぼす効果は、強いソーシャルサポートを持つ人では弱いことがわかりました。ソーシャルサポートは何として働いていますか？

A調整変数（モデレーター）
B媒介変数（メディエーター）
C交絡変数
D従属変数

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 25, 40, 45, 46。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 170、標準偏差 12 の正規分布に従います。182 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 12x = 182

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.3, 0.1, 0.3

Var(X) =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 3X − 3 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.25Y = 3X − 3

σ_Y =

7.正規分布ふつう

セメント袋の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 8 個の合計質量が 199.3 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8> 199.3 kg

P =

8.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 36 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 3.9 です。同じ研究で代わりに 9 個の観測値を使うと、誤差の幅 E₂ はいくらになりますか？

99%n₁ = 36E₁ = 3.9n₂ = 9

E₂ =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 4 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 4E = 0.599%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 202.6、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 202.6s = 10n = 64

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 8E = 2.595%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (8, 65) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(8, 65)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 2202 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、7 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · 平均値が中央値より大きい

これが答えになる理由

右の裾にある少数の非常に高い値が平均値を中央値より上に引き上げます。そのため、歪んだデータではよく中央値が報告されます。

答え

C · 平均値が中央値より大きい

2.心理学研究法

答え: A · 調整変数（モデレーター）

これが答えになる理由

調整変数は 2 つの変数の関係の強さや方向を変えます。媒介変数は、ある変数が別の変数に影響する仕組みを説明します。

答え

A · 調整変数（モデレーター）

3.記述統計

答え: s = 13.28

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 172/5 = 34.4

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−18.4)² + (−9.4)² + 5.6² + 10.6² + 11.6² = 705.2

標準偏差

s = √(705.2/4) = 13.28

答え

s = 13.28

4.記述統計

答え: z = 1

標準化する

z = (182 − 170)/12 = 1

答え

z = 1

5.確率

答え: Var(X) = 1.81

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.1 + 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.1 + 4·0.3 = 2.3

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.1 + 16·0.3 = 7.1

分散

Var(X) = 7.1 − 2.3² = 1.81

答え

Var(X) = 1.81

6.確率

答え: σ_Y = 6.701

X のばらつき

μ = 3.1, Var(X) = 4.99, σ_X = 2.234

一次変換

σ_Y = |3|·2.234 = 6.701

答え

σ_Y = 6.701

平均は変化します：E(Y) = 3·3.1 − 3 = 6.3。

7.正規分布

答え: P = 0.6879

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

標準化する

z = (199.3 − 200)/1.414 = −0.49

確率

P = 1 − Φ(−0.49) = 0.6879

答え

P = 0.6879

8.正規分布

答え: P = 0.8413

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

9.信頼区間

答え: E₂ = 7.8

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(36/9) = 2

新しい誤差の幅

E₂ = 3.9·2 = 7.8

答え

E₂ = 7.8

10.信頼区間

答え: n = 425

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·4/0.5)² = 424.7

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 425

答え

n = 425

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.08

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

検定統計量

t = (202.6 − 200)/1.25 = 2.08

答え

t = 2.08

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 40

n について解く

n = (1.96·8/2.5)² = 39.34

切り上げる

n = 40

答え

n = 40

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9851

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 432/6 = 72

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2558

決定係数

r² = 420²/(70·2558) = 0.9851

答え

r² = 0.9851

y の変動の約 98.51% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = −4.176

平均

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 371/6 = 61.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 257

回帰直線

b = 257/70 = 3.671

a = 61.83 − 3.671·6 = 39.8

ŷ = 39.8 + 3.671·x

予測値

ŷ = 39.8 + 3.671·8 = 69.18

残差

e = 65 − 69.18 = −4.176

答え

e = −4.176

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 14.75

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

新薬: 120·66/220 = 36, 120·154/220 = 84

プラセボ: 100·66/220 = 30, 100·154/220 = 70

カイ二乗統計量

χ² = (49 − 36)²/36 + (71 − 84)²/84 + (17 − 30)²/30 + (83 − 70)²/70

χ² = 14.75

答え

χ² = 14.75

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 16.81

自由度

df = 7 − 1 = 6

表

χ²_crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812

答え

χ²_crit = 16.812

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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