心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

研究者が性別が記憶得点に及ぼす影響を研究しています。これが真の実験ではなく準実験であるのはなぜですか？

A研究が実験室で行われるから
B独立変数があらかじめ存在する特性であり、参加者を無作為に割り当てられないから
C条件が 2 つしかなく、真の実験には独立変数の少なくとも 3 つの水準が必要だから
D従属変数が測定されていないから

2.心理学研究法むずかしい

研究者が 5 つの t 検定を行い、ボンフェローニ補正で全体の第 1 種の過誤率を 0.05 に保ちたいと考えています。各検定ではどの有意水準を使うべきですか？

A0.05
B0.01
C0.025
D0.25

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：47, 58, 54, 25, 39。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 10 の正規分布に従います。40 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 10x = 40

P =

5.確率ふつう

袋に赤玉 7 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

7 / 6

P =

6.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 7 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.5 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 7p = 0.5k = 2

P =

7.正規分布ふつう

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 34.5 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34.5 min

P =

8.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.信頼区間ふつう

21 個からなる標本の平均は 91.5、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 21x̄ = 91.5s = 1099%t(20) = 2.845

下限 =

10.信頼区間むずかしい

機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 10.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。

n = 16s = 10.9 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 196.1、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 196.1s = 12n = 64

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

H₀: μ = 100 対 H₁: μ > 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 5 であることがわかっています。実際の平均は 101.1 です。第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 100μ = 101.1σ = 5n = 100α = 0.10

β = %

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 30Σy = 65Σx² = 220Σy² = 971Σxy = 460

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 22 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 22

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1402 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、9 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。この検定の自由度 df はいくつですか？

k = 9

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: B · 独立変数があらかじめ存在する特性であり、参加者を無作為に割り当てられないから

これが答えになる理由

準実験では、独立変数は人々の間に自然に存在する違いです。無作為割り当てがないため、群間のほかの違いが結果を交絡させることがあります。

答え

B · 独立変数があらかじめ存在する特性であり、参加者を無作為に割り当てられないから

2.心理学研究法

答え: B · 0.01

これが答えになる理由

ボンフェローニ補正は α を比較の数で割ります：0.05 / 5 = 0.01。単純ですが保守的で、第 2 種の過誤のリスクを高めます。

答え

B · 0.01

3.記述統計

答え: s = 13.13

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 223/5 = 44.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 2.4² + 13.4² + 9.4² + (−19.6)² + (−5.6)² = 689.2

標準偏差

s = √(689.2/4) = 13.13

答え

s = 13.13

4.記述統計

答え: P = 0.02275

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答え

P = 0.02275

5.確率

答え: P = 0.2692

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692

答え

P = 0.2692

6.確率

答え: P = 0.1641

二項分布の公式

P(X = 2) = 21·0.5²·0.5⁵ = 21·0.25·0.03125 = 0.1641

答え

P = 0.1641

7.正規分布

答え: P = 0.1587

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

上側確率

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答え

P = 0.1587

8.正規分布

答え: P = 0.8133

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

確率

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

答え

P = 0.8133

9.信頼区間

答え: 下限 = 85.29

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 20, t = 2.845

誤差の幅

E = 2.845·10/√21 = 6.208

区間

91.5 ± 6.208 → [85.29, 97.71]

答え

下限 = 85.29

10.信頼区間

答え: σ = 8.052 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 15·10.9² = 1782

σ² の限界

1782/27.488 = 64.83

1782/6.262 = 284.6

σ の限界

σ = √64.83 = 8.052 µm

答え

σ = 8.052 µm

σ の 95% 区間：[8.052, 16.87] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.6

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

検定統計量

t = (196.1 − 200)/1.5 = −2.6

答え

t = −2.6

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: β = 17.93 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 100 + 1.282·0.5 = 100.6

真の平均のもとでの z

z = (100.6 − 101.1)/0.5 = −0.918

第 2 種の誤り

検出力 = P(Z > −0.918) = 82.07%

β = 100% − 82.07% = 17.93%

答え

β = 17.93%

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.986

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 460 − 30·65/5 = 70

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 971 − 65²/5 = 126

相関係数

r = 70/√(40·126) = 0.986

答え

r = 0.986

14.線形回帰と相関

答え: x = 2.471

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 117/6 = 19.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42.5

回帰直線

b = −42.5/17.5 = −2.429

a = 19.5 − (−2.429)·3.5 = 28

ŷ = 28 − 2.429·x

x について解く

x = (22 − 28)/(−2.429) = 2.471

答え

x = 2.471

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 1.094

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

新薬: 60·56/140 = 24, 60·84/140 = 36

プラセボ: 80·56/140 = 32, 80·84/140 = 48

カイ二乗統計量

χ² = (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36 + (29 − 32)²/32 + (51 − 48)²/48

χ² = 1.094

答え

χ² = 1.094

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: df = 8

自由度

df = 9 − 1 = 8

答え

df = 8

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