心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量
χ² = Σ(O − E)²/E
適合度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断
χ² > χ²crit なら H0 を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

データが順序尺度か明らかに正規でないとき、2 つの独立した群を比べる検定はどれですか？

  1. Aウィルコクソンの符号順位検定
  2. B対応のない t 検定
  3. Cマン・ホイットニーの U 検定
  4. Dカイ二乗検定
2.心理学研究法むずかしい

4 群を比べる一元配置分散分析が有意でした。どの群が異なるかを見つけるために、研究者は次に何をすべきですか？

  1. A4 群すべてが互いに異なると結論する
  2. Bテューキーの HSD などの事後検定を行う
  3. C結果を相関として報告する
  4. D平均についてカイ二乗検定を行う
3.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：51, 12, 37, 11, 27。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。154 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 8x = 154
P =
5.確率ふつう
xp(x)00.2520.2540.3560.15μ = 2.8

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.25, 0.35, 0.15
σ =
6.確率むずかしい
€p(x)−50.79200.2450.01

ゲームの参加費は €5 です。確率 0.2 で €25、確率 0.01 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €5€25: p = 0.2€50: p = 0.01
E(G) = €
7.正規分布ふつう
5085.5P = ?

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。50 から 85.5 点 の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 85.5
P =
8.正規分布むずかしい
0.03 mm0D − d?

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.信頼区間ふつう
n = 25, s = 9L = ?Ux̄ = 116E90%

25 個からなる標本の平均は 116、標準偏差は s = 9 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 25x̄ = 116s = 990%t(24) = 1.711
下限 =
10.信頼区間むずかしい
n = 30σ = ?Us = 1.895%

機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 1.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。

n = 30s = 1.8 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
11.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.0302.03

学生 36 人の標本の平均点は 104、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 104s = 10n = 36
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.9601.96

81 回の測定の標本平均は 198.7 です。母標準偏差は 4 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 198.7σ = 4n = 8195%
U =
13.線形回帰と相関ふつう
xy353467567678780xy46607080

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5
r² =
14.線形回帰と相関むずかしい
xy250351458560672xy246506070x = 5.5

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (5.5, 70) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(5.5, 70)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
咳あり咳なし合計喫煙者2971100非喫煙者4872120合計77143220

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 2202 × 2
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
はいいいえ合計工場 A5248100工場 B471360工場 C453580合計14496240dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: C · マン・ホイットニーの U 検定

これが答えになる理由

マン・ホイットニーの U 検定は、関連のない 2 群の間で順位を比べます。ウィルコクソンの符号順位検定は対応のある標本に使います。

答え

C · マン・ホイットニーの U 検定
2.心理学研究法

答え: B · テューキーの HSD などの事後検定を行う

これが答えになる理由

有意な F は、すべての平均が等しいわけではないことを示します。事後検定や計画的対比は、誤り率を統制しながら、どの組が異なるかを特定します。

答え

B · テューキーの HSD などの事後検定を行う
3.記述統計

答え: s = 16.99

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 138/5 = 27.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 23.4² + (−15.6)² + 9.4² + (−16.6)² + (−0.6)² = 1155

標準偏差

s = √(1155/4) = 16.99

答え

s = 16.99
4.記述統計

答え: P = 0.02275

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

答え

P = 0.02275
5.確率

答え: σ = 2.04

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.25 + 2·0.25 + 4·0.35 + 6·0.15 = 2.8

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.25 + 16·0.35 + 36·0.15 = 12

分散

Var(X) = 12 − 2.8² = 4.16
σ = √4.16 = 2.04

答え

σ = 2.04
6.確率

答え: E(G) = 0.5 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 20 (p = 0.2), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.79)

期待値

E(G) = 20·0.2 + 45·0.01 − 5·0.79 = 0.5 €

答え

E(G) = 0.5 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: P = 0.913

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (50 − 65)/10 = −1.5
z₂ = (85.5 − 65)/10 = 2.05

間の面積

P = Φ(2.05) − Φ(−1.5) = 0.9798 − 0.06681 = 0.913

答え

P = 0.913
8.正規分布

答え: P = 0.8849

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

確率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答え

P = 0.8849
9.信頼区間

答え: 下限 = 112.9

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 24, t = 1.711

誤差の幅

E = 1.711·9/√25 = 3.08

区間

116 ± 3.08 → [112.9, 119.1]

答え

下限 = 112.9
10.信頼区間

答え: σ = 1.434 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 29·1.8² = 93.96

σ² の限界

93.96/45.722 = 2.055
93.96/16.047 = 5.855

σ の限界

σ = √2.055 = 1.434 µm

答え

σ = 1.434 µm

σ の 95% 区間：[1.434, 2.42] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

検定統計量

t = (104 − 100)/1.667 = 2.4

答え

t = 2.4
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: U = 199.6

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 1.96·4/√81 = 0.8711

区間の端

U = 198.7 + 0.8711 = 199.6

答え

U = 199.6
13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9067

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 345/5 = 69

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
Syy = Σ(y − ȳ)² = 466

決定係数

r² = 65²/(10·466) = 0.9067

答え

r² = 0.9067

y の変動の約 90.67% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = 3.85

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 291/5 = 58.2

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

回帰直線

b = 53/10 = 5.3
a = 58.2 − 5.3·4 = 37
ŷ = 37 + 5.3·x

予測値

ŷ = 37 + 5.3·5.5 = 66.15

残差

e = 70 − 66.15 = 3.85

答え

e = 3.85

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 2.901

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

喫煙者: 100·77/220 = 35, 100·143/220 = 65
非喫煙者: 120·77/220 = 42, 120·143/220 = 78

カイ二乗統計量

χ² = (29 − 35)²/35 + (71 − 65)²/65 + (48 − 42)²/42 + (72 − 78)²/78
χ² = 2.901

答え

χ² = 2.901

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 11.54

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

工場 A: 60, 40
工場 B: 36, 24
工場 C: 48, 32

カイ二乗統計量

χ² = (52 − 60)²/60 + (48 − 40)²/40 + (47 − 36)²/36 + (13 − 24)²/24 + (45 − 48)²/48 + (35 − 32)²/32
χ² = 11.54

判断

df = 2, χ²crit = 9.210
11.54 > 9.210

答え

χ² = 11.54

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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