心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

ある研究が事前登録されています。これはどういう意味ですか？

Aデータ収集の前に、仮説、方法、分析計画が公開で記録されている
B参加者がオンラインで同意を登録している
C公表の前に、独立した 2 人目の統計家が結果を確認し承認した
D研究がすでに公刊されている

2.心理学研究法むずかしい

質的研究における再帰性（リフレクシビティ）とは、研究者が何をすることですか？

A信頼性を確認するために研究を繰り返す
B自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する
Cテーマを数値データに変換する
Dバイアスを除くために無作為標本を使う

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：42, 42, 22, 17, 58, 48, 52。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。45.6 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 12x = 45.6

P =

5.確率ふつう

公正なさいころを 2 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 2

P =

6.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 6 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.7 で正解します。ちょうど 2 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 6p = 0.7k = 2

P =

7.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。250 から 252.75 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 252.75

P =

8.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.信頼区間ふつう

7 個からなる標本の平均は 63.5、標準偏差は s = 6.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 7x̄ = 63.5s = 6.599%t(6) = 3.707

下限 =

10.信頼区間むずかしい

機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 4.4 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。

n = 15s = 4.4 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 73.88、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 75x̄ = 73.88s = 8n = 100

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

25 回の測定の標本平均は 46.6 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 46.6σ = 12n = 2599%

U =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 21Σy = 129Σx² = 91Σy² = 2953Σxy = 397

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (5, 19) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(5, 19)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 2202 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2003 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · データ収集の前に、仮説、方法、分析計画が公開で記録されている

これが答えになる理由

事前登録は確証的分析と探索的分析を区別し、p ハッキングや HARKing のような慣行を減らします。

答え

A · データ収集の前に、仮説、方法、分析計画が公開で記録されている

2.心理学研究法

答え: B · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

これが答えになる理由

再帰性は、データ収集と解釈に対する研究者の影響を認めるもので、質的研究の重要な質の基準です。

答え

B · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

3.記述統計

答え: s = 15.24

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 281/7 = 40.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 1.857² + 1.857² + (−18.14)² + (−23.14)² + 17.86² + 7.857² + 11.86² = 1393

標準偏差

s = √(1393/6) = 15.24

答え

s = 15.24

4.記述統計

答え: P = 0.8849

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答え

P = 0.8849

5.確率

答え: P = 0.3056

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答え

P = 0.3056

6.確率

答え: P = 0.05954

二項分布の公式

P(X = 2) = 15·0.7²·0.3⁴ = 15·0.49·0.0081 = 0.05954

答え

P = 0.05954

7.正規分布

答え: P = 0.2088

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (252.75 − 250)/5 = 0.55

間の面積

P = Φ(0.55) − Φ(0) = 0.7088 − 0.5 = 0.2088

答え

P = 0.2088

8.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

9.信頼区間

答え: 下限 = 54.39

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 6, t = 3.707

誤差の幅

E = 3.707·6.5/√7 = 9.107

区間

63.5 ± 9.107 → [54.39, 72.61]

答え

下限 = 54.39

10.信頼区間

答え: σ = 3.221 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 14·4.4² = 271

σ² の限界

271/26.119 = 10.38

271/5.629 = 48.15

σ の限界

σ = √10.38 = 3.221 µm

答え

σ = 3.221 µm

σ の 95% 区間：[3.221, 6.939] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

検定統計量

t = (73.88 − 75)/0.8 = −1.4

答え

t = −1.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: U = 52.78

誤差の幅

E = 2.576·12/√25 = 6.182

区間の端

U = 46.6 + 6.182 = 52.78

答え

U = 52.78

13.線形回帰と相関

答え: r = −0.9724

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 397 − 21·129/6 = −54.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2953 − 129²/6 = 179.5

相関係数

r = −54.5/√(17.5·179.5) = −0.9724

答え

r = −0.9724

14.線形回帰と相関

答え: e = 5.281

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 113/6 = 18.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 179

回帰直線

b = 179/70 = 2.557

a = 18.83 − 2.557·7 = 0.9333

ŷ = 0.9333 + 2.557·x

予測値

ŷ = 0.9333 + 2.557·5 = 13.72

残差

e = 19 − 13.72 = 5.281

答え

e = 5.281

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 0.6875

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

男性: 120·88/220 = 48, 120·132/220 = 72

女性: 100·88/220 = 40, 100·132/220 = 60

カイ二乗統計量

χ² = (51 − 48)²/48 + (69 − 72)²/72 + (37 − 40)²/40 + (63 − 60)²/60

χ² = 0.6875

答え

χ² = 0.6875

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 17.06

期待度数

工場 A: 64, 16

工場 B: 48, 12

工場 C: 48, 12

カイ二乗統計量

χ² = (75 − 64)²/64 + (5 − 16)²/16 + (40 − 48)²/48 + (20 − 12)²/12 + (45 − 48)²/48 + (15 − 12)²/12

χ² = 17.06

判断

df = 2, χ²_crit = 9.210

17.06 > 9.210

答え

χ² = 17.06

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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