心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

専門家が、数学の試験の項目がシラバスのすべての単元を網羅しているかを確認します。これは何を評価していますか？

A内容的妥当性
B再検査信頼性
C予測的妥当性
D生態学的妥当性

2.心理学研究法むずかしい

あるメタ分析がある療法の 40 の研究を統合しています。全体の効果量がそれでも大きすぎる可能性があるのはなぜですか？

A研究を統合すれば常にすべてのバイアスが取り除かれるから
B出版バイアスのために、未公刊の帰無結果の研究が抜けているかもしれないから
Cメタ分析には無作為化試験を含められないから
Dメタ分析は、含まれる個々の研究より常に小さい効果を示すから

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 57, 52, 53, 32。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。92 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 10x = 92

P =

5.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.1, 0.2

σ =

6.確率むずかしい

ゲームの参加費は €5 です。確率 0.25 で €20、確率 0.01 で €50 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €5€20: p = 0.25€50: p = 0.01

E(G) = €

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0192 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0192

z =

8.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの下位 5% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点5%

x = 点

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 41 h、既知の標準偏差 15 h。機種 2：60 台、平均 40 h、既知の標準偏差 18 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 50x̄₁ = 41 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 40 hσ₂ = 18 h90%

上限 = h

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 26 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 26E = 295%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 118.1、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 118.1s = 8n = 36

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 10E = 390%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (7, 14) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(7, 14)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1802 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2803 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · 内容的妥当性

これが答えになる理由

内容的妥当性は、測定が構成概念のすべての関連する側面を網羅している程度で、通常は専門家が判断します。

答え

A · 内容的妥当性

2.心理学研究法

答え: B · 出版バイアスのために、未公刊の帰無結果の研究が抜けているかもしれないから

これが答えになる理由

帰無結果があまり公刊されないと、統合された効果は過大になります。ファンネルプロットと未公刊データの探索がこれを見つけて減らすのに役立ちます。

答え

B · 出版バイアスのために、未公刊の帰無結果の研究が抜けているかもしれないから

3.記述統計

答え: s = 9.711

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 243/5 = 48.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 0.4² + 8.4² + 3.4² + 4.4² + (−16.6)² = 377.2

標準偏差

s = √(377.2/4) = 9.711

答え

s = 9.711

4.記述統計

答え: P = 0.7881

標準化する

z = −0.8

標準正規分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答え

P = 0.7881

5.確率

答え: σ = 1.108

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.1 + 4·0.2 = 2.15

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.1 + 16·0.2 = 5.85

分散

Var(X) = 5.85 − 2.15² = 1.228

σ = √1.228 = 1.108

答え

σ = 1.108

6.確率

答え: E(G) = 0.5 €

純利得の結果

G: 15 (p = 0.25), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.74)

期待値

E(G) = 15·0.25 + 45·0.01 − 5·0.74 = 0.5 €

答え

E(G) = 0.5 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

7.正規分布

答え: z = 2.07

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0192 = 0.9808

z 表を逆に読む

表の中で 0.9808 を見つけ、z を読み取ります。

z = 2.07

答え

z = 2.07

8.正規分布

答え: x = 75.4 点

左側の面積

Φ(z) = 0.05

表からの z

z ≈ −1.64

元の単位に戻す

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 点

答え

x = 75.4 点

9.信頼区間

答え: 上限 = 6.176 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 41 − 40 = 1

標準誤差

SE = √(15²/50 + 18²/60) = 3.146

誤差の幅

E = 1.645·3.146 = 5.176

区間

1 ± 5.176 → [−4.176, 6.176]

答え

上限 = 6.176 h

区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。

10.信頼区間

答え: n = 650

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·26/2)² = 649.2

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 650

答え

n = 650

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.425

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

検定統計量

t = (118.1 − 120)/1.333 = −1.425

答え

t = −1.425

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 31

n について解く

n = (1.645·10/3)² = 30.07

切り上げる

n = 31

答え

n = 31

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.957

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 325/6 = 54.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 466.8

相関係数

r = 86.5/√(17.5·466.8) = 0.957

答え

r = 0.957

14.線形回帰と相関

答え: e = −1.5

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 131

回帰直線

b = 131/70 = 1.871

a = 15.5 − 1.871·7 = 2.4

ŷ = 2.4 + 1.871·x

予測値

ŷ = 2.4 + 1.871·7 = 15.5

残差

e = 14 − 15.5 = −1.5

答え

e = −1.5

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 3.956

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

男性: 60·63/180 = 21, 60·117/180 = 39

女性: 120·63/180 = 42, 120·117/180 = 78

カイ二乗統計量

χ² = (27 − 21)²/21 + (33 − 39)²/39 + (36 − 42)²/42 + (84 − 78)²/78

χ² = 3.956

答え

χ² = 3.956

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 6.107

期待度数

工場 A: 24, 56

工場 B: 30, 70

工場 C: 30, 70

カイ二乗統計量

χ² = (19 − 24)²/24 + (61 − 56)²/56 + (39 − 30)²/30 + (61 − 70)²/70 + (26 − 30)²/30 + (74 − 70)²/70

χ² = 6.107

判断

df = 2, χ²_crit = 9.210

6.107 < 9.210

答え

χ² = 6.107

χ² は臨界値より小さいので、H₀ は棄却されません：関連を示す有意な証拠はありません。

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