心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

大学の母集団と同じ割合で 1 年生、2 年生、3 年生を含む標本を得るには、研究者はどの方法を使うべきですか？

Aスノーボール抽出
B機会標本抽出
C志願者標本抽出
D層化抽出

2.心理学研究法むずかしい

ある「知能」テストは、主に人がどれだけ速くタイプできるかを測っています。最も明らかに欠けている妥当性はどれですか？

A再検査信頼性
B構成概念妥当性
C内的一貫性
D評定者間信頼性

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：14, 35, 50, 37, 34。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 100、標準偏差 15 の正規分布に従います。70 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 100σ = 15x = 70

P =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

Var(X) =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 5 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.3, 0.05, 0.05Y = 10X + 5

σ_Y =

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9625 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9625

z =

8.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 30% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

9.信頼区間ふつう

30 個からなる標本の平均は 96、標準偏差は s = 3 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 30x̄ = 96s = 399%t(29) = 2.756

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 32 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 32E = 390%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：100 個の部品の標本の平均長さは 112.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 13 mm です。ライン 2：30 個の部品の標本の平均は 117.9 mm、既知の標準偏差は 14 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 112.5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 30x̄₂ = 117.9 mmσ₂ = 14 mm

z =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

16 回の測定の標本平均は 496.7 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 496.7σ = 12n = 1699%

U =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (17, 88) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(17, 88)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1002 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、6 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.05

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: D · 層化抽出

これが答えになる理由

層化抽出は下位集団（層）を特定し、母集団での大きさに比例して各層から無作為に抽出するため、標本の代表性が高まります。

答え

D · 層化抽出

2.心理学研究法

答え: B · 構成概念妥当性

これが答えになる理由

構成概念妥当性は、測定が根底にある構成概念を本当に反映しているかどうかです。テストは信頼性が高くても、間違ったものを測っていることがあります。

答え

B · 構成概念妥当性

3.記述統計

答え: s = 12.9

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 170/5 = 34

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 1² + 16² + 3² + 0² = 666

標準偏差

s = √(666/4) = 12.9

答え

s = 12.9

4.記述統計

答え: P = 0.02275

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答え

P = 0.02275

5.確率

答え: Var(X) = 0.6475

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

分散

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

答え

Var(X) = 0.6475

6.確率

答え: σ_Y = 10.54

X のばらつき

μ = 1.3, Var(X) = 1.11, σ_X = 1.054

一次変換

σ_Y = |10|·1.054 = 10.54

答え

σ_Y = 10.54

平均は変化します：E(Y) = 10·1.3 + 5 = 18。

7.正規分布

答え: z = −1.78

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9625 = 0.0375

z 表を逆に読む

表の中で 0.0375 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.78

答え

z = −1.78

8.正規分布

答え: x = 521 h

左側の面積

Φ(z) = 0.7

表からの z

z ≈ 0.52

元の単位に戻す

x = 500 + 0.52·40 = 521 h

答え

x = 521 h

9.信頼区間

答え: E = 1.51

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 29, t = 2.756

誤差の幅

E = 2.756·3/√30 = 1.51

答え

E = 1.51

10.信頼区間

答え: n = 308

n について解く

n = (1.645·32/3)² = 307.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 308

答え

n = 308

11.仮説検定と信頼区間

答え: z = −1.883

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(13²/100 + 14²/30) = √8.223 = 2.868

検定統計量

z = (112.5 − 117.9)/2.868 = −1.883

答え

z = −1.883

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: U = 504.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 2.576·12/√16 = 7.728

区間の端

U = 496.7 + 7.728 = 504.4

答え

U = 504.4

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.9765

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 483/5 = 96.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1883

相関係数

r = 402/√(90·1883) = 0.9765

答え

r = 0.9765

14.線形回帰と相関

答え: e = 1.8

平均

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 533/5 = 106.6

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

回帰直線

b = 272/40 = 6.8

a = 106.6 − 6.8·20 = −29.4

ŷ = −29.4 + 6.8·x

予測値

ŷ = −29.4 + 6.8·17 = 86.2

残差

e = 88 − 86.2 = 1.8

答え

e = 1.8

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 0.1736

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

男性: 40·40/100 = 16, 40·60/100 = 24

女性: 60·40/100 = 24, 60·60/100 = 36

カイ二乗統計量

χ² = (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (23 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36

χ² = 0.1736

答え

χ² = 0.1736

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 11.07

自由度

df = 6 − 1 = 5

表

χ²_crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

答え

χ²_crit = 11.070

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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