心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

研究者が性別（男性／女性）と好みの映画ジャンル（4 カテゴリー）の間に関連があるかを検定したいと考えています。適切な検定はどれですか？

Aピアソンの相関
B対応のある t 検定
C一元配置分散分析
Dカイ二乗独立性検定

2.心理学研究法むずかしい

4 群を比べる一元配置分散分析が有意でした。どの群が異なるかを見つけるために、研究者は次に何をすべきですか？

A平均についてカイ二乗検定を行う
B4 群すべてが互いに異なると結論する
C結果を相関として報告する
Dテューキーの HSD などの事後検定を行う

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：25, 50, 53, 35, 20, 18。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。54 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 60σ = 12x = 54

P =

5.確率ふつう

袋に赤玉 3 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

3 / 6

P =

6.確率むずかしい

部品を 7 個試験し、各部品は独立に確率 0.4 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 7p = 0.4

P =

7.正規分布ふつう

ボルトの質量は互いに独立で、平均 40 g、標準偏差 1.2 g の正規分布に従います。そのうち 9 個の合計質量が 365.4 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9> 365.4 g

P =

8.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.信頼区間ふつう

10 個からなる標本の平均は 65.5、標準偏差は s = 4 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 10x̄ = 65.5s = 495%t(9) = 2.262

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 26 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 26E = 595%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 56.5、標準偏差 2。グループ 2：7 人の学生、平均点 61.3、標準偏差 4.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 5x̄₁ = 56.5s₁ = 2n₂ = 7x̄₂ = 61.3s₂ = 4.5

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

49 回の測定の標本平均は 50.6 です。母標準偏差は 10 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 50.6σ = 10n = 4999%

L =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 75 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 75

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「職員、バス」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 105列の合計 = 54N = 175

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

3 行 3 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。この検定の自由度 df はいくつですか？

3 × 3

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: D · カイ二乗独立性検定

これが答えになる理由

カイ二乗検定は、分割表の観測度数と期待度数を比べ、2 つのカテゴリー変数が関連しているかどうかを検定します。

答え

D · カイ二乗独立性検定

2.心理学研究法

答え: D · テューキーの HSD などの事後検定を行う

これが答えになる理由

有意な F は、すべての平均が等しいわけではないことを示します。事後検定や計画的対比は、誤り率を統制しながら、どの組が異なるかを特定します。

答え

D · テューキーの HSD などの事後検定を行う

3.記述統計

答え: s = 15.16

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 201/6 = 33.5

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−8.5)² + 16.5² + 19.5² + 1.5² + (−13.5)² + (−15.5)² = 1150

標準偏差

s = √(1150/5) = 15.16

答え

s = 15.16

4.記述統計

答え: P = 0.6915

標準化する

z = −0.5

標準正規分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

答え

P = 0.6915

5.確率

答え: P = 0.08333

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0.08333

答え

P = 0.08333

6.確率

答え: P = 0.1586

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.6⁷ = 0.02799

P(X = 1) = 7·0.4·0.6⁶ = 0.1306

足し合わせる

P = 0.02799 + 0.1306 = 0.1586

答え

P = 0.1586

7.正規分布

答え: P = 0.06681

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 360 g, σ_T = 1.2·√9 = 3.6 g

標準化する

z = (365.4 − 360)/3.6 = 1.5

確率

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

答え

P = 0.06681

8.正規分布

答え: P = 0.8264

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

確率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答え

P = 0.8264

9.信頼区間

答え: E = 2.861

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 9, t = 2.262

誤差の幅

E = 2.262·4/√10 = 2.861

答え

E = 2.861

10.信頼区間

答え: n = 104

n について解く

n = (1.96·26/5)² = 103.9

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 104

答え

n = 104

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.211

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

s_p² = (4·2² + 6·4.5²)/10 = 13.75

s_p = 3.708

標準誤差

SE = 3.708·√(1/5 + 1/7) = 2.171

検定統計量

t = (56.5 − 61.3)/2.171 = −2.211

答え

t = −2.211

df = 10 のとき、両側 5% の臨界値は 2.228 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: L = 46.92

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 2.576·10/√49 = 3.68

区間の端

L = 50.6 − 3.68 = 46.92

答え

L = 46.92

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9875

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 174/6 = 29

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1118

決定係数

r² = 278²/(70·1118) = 0.9875

答え

r² = 0.9875

y の変動の約 98.75% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: x = 5.54

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 365/6 = 60.83

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 121.5

回帰直線

b = 121.5/17.5 = 6.943

a = 60.83 − 6.943·3.5 = 36.53

ŷ = 36.53 + 6.943·x

x について解く

x = (75 − 36.53)/6.943 = 5.54

答え

x = 5.54

15.カイ二乗検定

答え: E = 32.4

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 105·54/175 = 32.4

答え

E = 32.4

16.カイ二乗検定

答え: df = 4

自由度

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

答え

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology