心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

データが順序尺度か明らかに正規でないとき、2 つの独立した群を比べる検定はどれですか？

A対応のない t 検定
Bカイ二乗検定
Cウィルコクソンの符号順位検定
Dマン・ホイットニーの U 検定

2.心理学研究法むずかしい

研究の標本の大きさを増やすことが最も直接的にもたらすのは何ですか？

A効果量が大きくなる
B効果が存在するなら、統計的に有意な結果が保証される
C本当の効果を検出する統計的検定力が高まる
D標本からあらゆる偏りがなくなる

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 32, 26, 25, 40, 47。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 60、標準偏差 20 の正規分布に従います。40 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 20x = 40

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35

Var(X) =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 5X + 1 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.3, 0.35, 0.05, 0.2Y = 5X + 1

σ_Y =

7.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。169.6 から 185.35 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 169.6x₂ = 185.35

P =

8.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの上位 90% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点90%

x = 点

9.信頼区間ふつう

6 個からなる標本の平均は 107、標準偏差は s = 3 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 6x̄ = 107s = 390%t(5) = 2.015

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 7 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 7E = 1.595%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 81 人の標本の平均点は 49、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 49s = 5n = 81

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 4 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 13 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 95%δ = 4σ = 13z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 58 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 58

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「日勤、軽微」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 52列の合計 = 38N = 93

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、10 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。この検定の自由度 df はいくつですか？

k = 10

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: D · マン・ホイットニーの U 検定

これが答えになる理由

マン・ホイットニーの U 検定は、関連のない 2 群の間で順位を比べます。ウィルコクソンの符号順位検定は対応のある標本に使います。

答え

D · マン・ホイットニーの U 検定

2.心理学研究法

答え: C · 本当の効果を検出する統計的検定力が高まる

これが答えになる理由

標本が大きいほど標準誤差が小さくなり、検定力が高まります。真の効果量は変わらず、系統的な偏りも取り除かれません。

答え

C · 本当の効果を検出する統計的検定力が高まる

3.記述統計

答え: s = 10.41

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 219/6 = 36.5

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 12.5² + (−4.5)² + (−10.5)² + (−11.5)² + 3.5² + 10.5² = 541.5

標準偏差

s = √(541.5/5) = 10.41

答え

s = 10.41

4.記述統計

答え: z = −1

標準化する

z = (40 − 60)/20 = −1

答え

z = −1

5.確率

答え: Var(X) = 94.75

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 10·0.1 + 20·0.2 + 30·0.35 + 40·0.35 = 29.5

2 乗の平均

E(X²) = 100·0.1 + 400·0.2 + 900·0.35 + 1600·0.35 = 965

分散

Var(X) = 965 − 29.5² = 94.75

答え

Var(X) = 94.75

6.確率

答え: σ_Y = 6.22

X のばらつき

μ = 2.95, Var(X) = 1.548, σ_X = 1.244

一次変換

σ_Y = |5|·1.244 = 6.22

答え

σ_Y = 6.22

平均は変化します：E(Y) = 5·2.95 + 1 = 15.75。

7.正規分布

答え: P = 0.7381

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (169.6 − 178)/7 = −1.2

z₂ = (185.35 − 178)/7 = 1.05

間の面積

P = Φ(1.05) − Φ(−1.2) = 0.8531 − 0.1151 = 0.7381

答え

P = 0.7381

8.正規分布

答え: x = 80.8 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.1

表からの z

z ≈ −1.28

元の単位に戻す

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 点

答え

x = 80.8 点

9.信頼区間

答え: E = 2.468

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 5, t = 2.015

誤差の幅

E = 2.015·3/√6 = 2.468

答え

E = 2.468

10.信頼区間

答え: n = 84

n について解く

n = (1.96·7/1.5)² = 83.66

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 84

答え

n = 84

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.8

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556

検定統計量

t = (49 − 50)/0.5556 = −1.8

答え

t = −1.8

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 167

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 1.645)·13/4)² = 166.6

切り上げる

n = 167

答え

n = 167

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9414

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 266/5 = 53.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 122.8

決定係数

r² = 34²/(10·122.8) = 0.9414

答え

r² = 0.9414

y の変動の約 94.14% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: x = 5.086

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 410/6 = 68.33

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 378

回帰直線

b = 378/70 = 5.4

a = 68.33 − 5.4·7 = 30.53

ŷ = 30.53 + 5.4·x

x について解く

x = (58 − 30.53)/5.4 = 5.086

答え

x = 5.086

15.カイ二乗検定

答え: E = 21.25

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 52·38/93 = 21.25

答え

E = 21.25

16.カイ二乗検定

答え: df = 9

自由度

df = 10 − 1 = 9

答え

df = 9

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