心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

p 値が 0.03 であるとは、どういう意味ですか？

A帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である
B効果が大きい
C結果は 97% の確率で再現される
D観察されたデータのもとで、帰無仮説が正しい確率は 3% しかない

2.心理学研究法むずかしい

ある心理学科は、心理学入門の授業からだけ参加者を募集しています。批判者は標本が「WEIRD」だと言います。これは何を指していますか？

A一般化できないかもしれない、西洋の、教育を受けた、工業化された、豊かで、民主的な社会の標本
B重みづけ無作為法で募集された標本
C研究から早く脱落する標本
D行動が異常に奇妙な標本

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：57, 34, 20, 16, 24, 29, 27。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。190 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 190

P =

5.確率ふつう

袋に赤玉 4 個と青玉 4 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 4

P =

6.確率むずかしい

あるテストには選択問題が 8 問あります。当てずっぽうで答える学生は、各問を独立に確率 0.25 で正解します。ちょうど 5 問正解する確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.25k = 5

P =

7.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。248.5 から 252.5 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 248.5x₂ = 252.5

P =

8.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 10% がそれより下にある値 x（第 10 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

9.信頼区間ふつう

20 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 8.1、標準偏差は 6.7 です。差の平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 20d̄ = 8.1s_d = 6.790%t(19) = 1.729

E = mmHg

10.信頼区間むずかしい

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：6 区画、平均収量 68.5 kg、標準偏差 1.5 kg。区画群 2：20 区画、平均 77 kg、標準偏差 10 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 6x̄₁ = 68.5s₁ = 1.5n₂ = 20x̄₂ = 77s₂ = 1095%t(24) = 2.064

E = kg

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 43.4、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 43.4s = 12n = 16

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 20E = 2.595%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (2.5, 17) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(2.5, 17)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1602 × 3

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.05 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2003 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である

これが答えになる理由

p 値は、帰無仮説が正しい場合に、観測された結果と同じかそれ以上に極端な結果が得られる確率です。仮説が正しい確率や効果の大きさを示すものではありません。

答え

A · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である

2.心理学研究法

答え: A · 一般化できないかもしれない、西洋の、教育を受けた、工業化された、豊かで、民主的な社会の標本

これが答えになる理由

ヘンリックらは、心理学の参加者のほとんどが人類を代表しない WEIRD な社会の出身であり、母集団的妥当性が脅かされていると指摘しました。

答え

A · 一般化できないかもしれない、西洋の、教育を受けた、工業化された、豊かで、民主的な社会の標本

3.記述統計

答え: s = 13.45

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 207/7 = 29.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 27.43² + 4.429² + (−9.571)² + (−13.57)² + (−5.571)² + (−0.5714)² + (−2.571)² = 1086

標準偏差

s = √(1086/6) = 13.45

答え

s = 13.45

4.記述統計

答え: P = 0.1587

標準化する

z = 1

標準正規分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答え

P = 0.1587

5.確率

答え: P = 0.2143

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0.2143

答え

P = 0.2143

6.確率

答え: P = 0.02307

二項分布の公式

P(X = 5) = 56·0.25⁵·0.75³ = 56·0.0009766·0.4219 = 0.02307

答え

P = 0.02307

7.正規分布

答え: P = 0.3094

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (248.5 − 250)/5 = −0.3

z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5

間の面積

P = Φ(0.5) − Φ(−0.3) = 0.6915 − 0.3821 = 0.3094

答え

P = 0.3094

8.正規分布

答え: x = 243.6 g

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

x に戻す

x = 250 + −1.282·5 = 243.59 g

答え

x = 243.59 g

9.信頼区間

答え: E = 2.59 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 19, t = 1.729

誤差の幅

E = 1.729·6.7/√20 = 2.59

答え

E = 2.59 mmHg

10.信頼区間

答え: E = 8.574 kg

プールした標準偏差

s_p² = (5·1.5² + 19·10²)/24 = 79.64

s_p = 8.924

誤差の幅

E = 2.064·8.924·√(1/6 + 1/20) = 8.574

答え

E = 8.574 kg

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

検定統計量

t = (43.4 − 50)/3 = −2.2

答え

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 246

n について解く

n = (1.96·20/2.5)² = 245.9

切り上げる

n = 246

答え

n = 246

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9262

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 90.8

決定係数

r² = −29²/(10·90.8) = 0.9262

答え

r² = 0.9262

y の変動の約 92.62% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = −3.45

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 95/5 = 19

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

回帰直線

b = −29/10 = −2.9

a = 19 − (−2.9)·3 = 27.7

ŷ = 27.7 − 2.9·x

予測値

ŷ = 27.7 + (−2.9)·2.5 = 20.45

残差

e = 17 − 20.45 = −3.45

答え

e = −3.45

点は直線より下にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 0.4974

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

都市部: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21

農村部: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35

カイ二乗統計量

χ² = (13 − 12)²/12 + (28 − 27)²/27 + (19 − 21)²/21 + (19 − 20)²/20 + (44 − 45)²/45 + (37 − 35)²/35

χ² = 0.4974

答え

χ² = 0.4974

df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 16.41

期待度数

ライン 1: 24, 16

ライン 2: 48, 32

ライン 3: 48, 32

カイ二乗統計量

χ² = (23 − 24)²/24 + (17 − 16)²/16 + (61 − 48)²/48 + (19 − 32)²/32 + (36 − 48)²/48 + (44 − 32)²/32

χ² = 16.41

判断

df = 2, χ²_crit = 5.991

16.41 > 5.991

答え

χ² = 16.41

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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