心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

p 値が 0.03 であるとは、どういう意味ですか？

A帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である
B観察されたデータのもとで、帰無仮説が正しい確率は 3% しかない
C結果は 97% の確率で再現される
D効果が大きい

2.心理学研究法むずかしい

参加者 10 人の研究で、効果は大きいものの有意ではありませんでした。最も適切な結論はどれですか？

A効果量の計算が誤っているに違いない
B検定力が不足していた可能性があり、結果は決定的ではない
Cその効果は第 1 種の過誤に違いない
D効果が有意でなかったので、研究は帰無仮説が正しいことを証明している

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：40, 33, 25, 31, 14。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。440 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 50x = 440

P =

5.確率ふつう

公正なさいころを 5 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？

n = 5

P =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 10 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.1, 0.35, 0.1Y = 10X + 10

σ_Y =

7.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.7243 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.7243

z =

8.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 97.5% がそれより下にある値 x（第 97.5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = 点

9.信頼区間ふつう

21 個からなる標本の平均は 32.5、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 21x̄ = 32.5s = 17.595%t(20) = 2.086

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 36 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 36E = 295%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 100 人の標本の平均点は 495.6、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 495.6s = 20n = 100

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

H₀: μ = 200 対 H₁: μ > 200 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 206.75 です。検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 200μ = 206.75σ = 15n = 36α = 0.10

1 − β = %

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 5.5 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 5.5

ŷ =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 802 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

2 行 11 列（合計を除く）の分割表について、カイ二乗独立性検定を行います。表を使って、有意水準 α = 0.01 での臨界値 χ²_crit を求めなさい。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究法

答え: A · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である

これが答えになる理由

p 値は、帰無仮説が正しい場合に、観測された結果と同じかそれ以上に極端な結果が得られる確率です。仮説が正しい確率や効果の大きさを示すものではありません。

答え

A · 帰無仮説が正しいとすると、これほど極端なデータが得られるのは約 3% である

2.心理学研究法

答え: B · 検定力が不足していた可能性があり、結果は決定的ではない

これが答えになる理由

標本が小さいと、本当の効果でも有意にならないことがよくあります（第 2 種の過誤）。研究者は効果量と信頼区間を報告し、より大きな標本で追試すべきです。

答え

B · 検定力が不足していた可能性があり、結果は決定的ではない

3.記述統計

答え: s = 9.762

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 143/5 = 28.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 11.4² + 4.4² + (−3.6)² + 2.4² + (−14.6)² = 381.2

標準偏差

s = √(381.2/4) = 9.762

答え

s = 9.762

4.記述統計

答え: P = 0.8849

標準化する

z = −1.2

標準正規分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答え

P = 0.8849

5.確率

答え: P = 0.5981

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

余事象

P(6 が出ない) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

答え

P = 0.5981

6.確率

答え: σ_Y = 14.35

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

X のばらつき

μ = 1.8, Var(X) = 2.06, σ_X = 1.435

一次変換

σ_Y = |10|·1.435 = 14.35

答え

σ_Y = 14.35

平均は変化します：E(Y) = 10·1.8 + 10 = 28。

7.正規分布

答え: z = 1.09

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.7243)/2 = 0.8621

z 表を逆に読む

表の中で 0.8621 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.09

答え

z = 1.09

8.正規分布

答え: x = 129.4 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

x に戻す

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 点

答え

x = 129.4 点

9.信頼区間

答え: E = 7.966

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 20, t = 2.086

誤差の幅

E = 2.086·17.5/√21 = 7.966

答え

E = 7.966

10.信頼区間

答え: n = 1245

n について解く

n = (1.96·36/2)² = 1245

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 1245

答え

n = 1245

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

検定統計量

t = (495.6 − 500)/2 = −2.2

答え

t = −2.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 92.19 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 15/√36 = 2.5

x̄_c = 200 + 1.282·2.5 = 203.2

真の平均のもとでの z

z = (203.2 − 206.75)/2.5 = −1.418

電力

検出力 = P(Z > −1.418) = 92.19%

1 − β = 92.19%

答え

1 − β = 92.19%

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.8815

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 191/5 = 38.2

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 166.8

相関係数

r = 36/√(10·166.8) = 0.8815

答え

r = 0.8815

14.線形回帰と相関

答え: ŷ = 73.17

平均

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 439/6 = 73.17

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102.5

回帰直線

b = 102.5/17.5 = 5.857

a = 73.17 − 5.857·5.5 = 40.95

ŷ = 40.95 + 5.857·x

予測

ŷ = 40.95 + 5.857·5.5 = 73.17

答え

ŷ = 73.17

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 1.818

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

男性: 40·44/80 = 22, 40·36/80 = 18

女性: 40·44/80 = 22, 40·36/80 = 18

カイ二乗統計量

χ² = (19 − 22)²/22 + (21 − 18)²/18 + (25 − 22)²/22 + (15 − 18)²/18

χ² = 1.818

答え

χ² = 1.818

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却されない。

16.カイ二乗検定

答え: χ²_crit = 23.21

自由度

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

表

χ²_crit(df = 10, α = 0.01) = 23.209

答え

χ²_crit = 23.209

計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。

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