心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

横断研究で、20 歳、40 歳、60 歳の人のテクノロジーの使用を同時に比べます。年齢の比較を交絡させうる問題はどれですか？

A床効果
B練習効果
C順序効果
Dコホート効果

2.心理学研究法むずかしい

研究者が悲しい映画を見せて気分を操作し、主課題の前にどれだけ悲しいと感じるかを参加者に評定してもらいます。この評定を含めるのはなぜですか？

A独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして
B研究の主な従属変数として
C条件の順序をカウンターバランスするため
D参加者に目的をデブリーフィングするため

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：41, 39, 27, 13, 27, 16, 19。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 60、標準偏差 20 の正規分布に従います。40 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 20x = 40

z =

5.確率ふつう

袋に赤玉 4 個と青玉 5 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 5

P =

6.確率むずかしい

部品を 10 個試験し、各部品は独立に確率 0.2 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 10p = 0.2

P =

7.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。24.8 から 33.5 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 24.8x₂ = 33.5

P =

8.正規分布むずかしい

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 58.5 h、既知の標準偏差 3 h。機種 2：50 台、平均 55 h、既知の標準偏差 10 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 58.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 50x̄₂ = 55 hσ₂ = 10 h90%

上限 = h

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 36 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 36E = 199%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 126.4、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 126.4s = 15n = 16

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

H₀: μ = 200 対 H₁: μ < 200 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 8 であることがわかっています。実際の平均は 198.3 です。検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 200μ = 198.3σ = 8n = 64α = 0.05

1 − β = %

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 勉強時間と y = 試験の得点の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 5

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 広告費（k€）と y = 売上高（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (3.5, 55) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 6(3.5, 55)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1602 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.05 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.心理学研究法

答え: D · コホート効果

これが答えになる理由

年齢群ごとに異なる歴史的条件で育っているため、違いは加齢そのものではなく世代（コホート）を反映しているかもしれません。

答え

D · コホート効果

2.心理学研究法

答え: A · 独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして

これが答えになる理由

操作チェックは、独立変数が意図した心理状態を生み出したことを確認します。それがないと、帰無結果は操作が失敗したことを意味しているかもしれません。

答え

A · 独立変数が意図どおりに働いたことを確かめる操作チェックとして

3.記述統計

答え: s = 10.91

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 182/7 = 26

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 15² + 13² + 1² + (−13)² + 1² + (−10)² + (−7)² = 714

標準偏差

s = √(714/6) = 10.91

答え

s = 10.91

4.記述統計

答え: z = −1

標準化する

z = (40 − 60)/20 = −1

答え

z = −1

5.確率

答え: P = 0.1667

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667

答え

P = 0.1667

6.確率

答え: P = 0.3758

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.8¹⁰ = 0.1074

P(X = 1) = 10·0.2·0.8⁹ = 0.2684

足し合わせる

P = 0.1074 + 0.2684 = 0.3758

答え

P = 0.3758

7.正規分布

答え: P = 0.4836

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (24.8 − 32)/6 = −1.2

z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25

間の面積

P = Φ(0.25) − Φ(−1.2) = 0.5987 − 0.1151 = 0.4836

答え

P = 0.4836

8.正規分布

答え: x = 37.05 min

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

x に戻す

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

答え

x = 37.05 min

9.信頼区間

答え: 上限 = 5.878 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 58.5 − 55 = 3.5

標準誤差

SE = √(3²/100 + 10²/50) = 1.446

誤差の幅

E = 1.645·1.446 = 2.378

区間

3.5 ± 2.378 → [1.122, 5.878]

答え

上限 = 5.878 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

10.信頼区間

答え: n = 8600

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·36/1)² = 8600

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 8600

答え

n = 8600

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.707

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

検定統計量

t = (126.4 − 120)/3.75 = 1.707

答え

t = 1.707

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 52.19 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 200 − 1.645·1 = 198.4

真の平均のもとでの z

z = (198.4 − 198.3)/1 = 0.055

電力

検出力 = P(Z < 0.055) = 52.19%

1 − β = 52.19%

答え

1 − β = 52.19%

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.9845

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 502/5 = 100.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2165

決定係数

r² = 292²/(40·2165) = 0.9845

答え

r² = 0.9845

y の変動の約 98.45% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: e = 5

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 300/6 = 50

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

回帰直線

b = 46/17.5 = 2.629

a = 50 − 2.629·3.5 = 40.8

ŷ = 40.8 + 2.629·x

予測値

ŷ = 40.8 + 2.629·3.5 = 50

残差

e = 55 − 50 = 5

答え

e = 5

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 21.46

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

喫煙者: 60·112/160 = 42, 60·48/160 = 18

非喫煙者: 100·112/160 = 70, 100·48/160 = 30

カイ二乗統計量

χ² = (29 − 42)²/42 + (31 − 18)²/18 + (83 − 70)²/70 + (17 − 30)²/30

χ² = 21.46

答え

χ² = 21.46

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: χ² = 22.48

期待度数

18～30 歳: 80, 20

31～50 歳: 64, 16

51 歳以上: 32, 8

カイ二乗統計量

χ² = (94 − 80)²/80 + (6 − 20)²/20 + (55 − 64)²/64 + (25 − 16)²/16 + (27 − 32)²/32 + (13 − 8)²/8

χ² = 22.48

判断

df = 2, χ²_crit = 5.991

22.48 > 5.991

答え

χ² = 22.48

χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。

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