記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
観察研究における事象見本法とはどういう意味ですか？
- A一定の時間間隔でだけ行動を記録すること
- B参加者を無作為に選ぶこと
- C参加者が報告した出来事だけを記録すること
- D特定の行動が起こるたびに記録すること
2.心理学研究法むずかしい
ある自己報告尺度で、多くの記述に同意する人が内容にかかわらず高い得点をとることがわかりました。これはどの反応バイアスで、どのように減らせますか？
- A黙従バイアス。逆転項目を含める
- B要求特性。二重盲検デザインを使う
- C社会的望ましさのバイアス。より大きな標本を使う
- D順序効果。参加者のカウンターバランスを使う
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：13, 43, 48, 55, 24, 36。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。78 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70σ = 8x = 78
P =
5.確率ふつう
公正なさいころを 4 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
n = 4
P =
6.確率むずかしい
ゲームの参加費は €1 です。確率 0.15 で €3、確率 0.01 で €20 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €1€3: p = 0.15€20: p = 0.01
E(G) = €
7.正規分布ふつう
荷物を持つ乗客 の質量は互いに独立で、平均 85 kg、標準偏差 12 kg の正規分布に従います。そのうち 5 個の合計質量が 411.6 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 411.6 kg
P =
8.正規分布むずかしい
試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの上位 30% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
μ = 65 点σ = 10 点30%
x = 点
9.信頼区間ふつう
11 個からなる標本の平均は 35.5、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 11x̄ = 35.5s = 1790%t(10) = 1.812
下限 =
10.信頼区間むずかしい
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 1.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30s = 1.6 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 48、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 48s = 10n = 81
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 90% で検出しなければなりません。標準偏差は 28 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 90%δ = 5σ = 28zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。
n = 5
r =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 新しい観測値 (8, 63) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。
n = 5(8, 63)
e =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 1402 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.01 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。
N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究法
答え: D · 特定の行動が起こるたびに記録すること
これが答えになる理由
事象見本法は標的行動の生起を 1 回ずつ数えます。時間見本法は、例えば 30 秒ごとなど、決まった間隔で起きていることを記録します。
答え
D · 特定の行動が起こるたびに記録すること
2.心理学研究法
答え: A · 黙従バイアス。逆転項目を含める
これが答えになる理由
黙従は項目に同意する傾向です。肯定的な表現の項目と否定的な表現の項目を混ぜると、すべてに同意しても極端な得点にはならなくなります。
答え
A · 黙従バイアス。逆転項目を含める
3.記述統計
答え: s = 15.66
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 219/6 = 36.5
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−23.5)² + 6.5² + 11.5² + 18.5² + (−12.5)² + (−0.5)² = 1226
標準偏差
s = √(1226/5) = 15.66
答え
s = 15.66
4.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答え
P = 0.1587
5.確率
答え: P = 0.5177
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
余事象
P(6 が出ない) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177
答え
P = 0.5177
6.確率
答え: E(G) = −0.35 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 2 (p = 0.15), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.84)
期待値
E(G) = 2·0.15 + 19·0.01 − 1·0.84 = −0.35 €
答え
E(G) = −0.35 €
負の値は、平均して損をすることを意味します。
7.正規分布
答え: P = 0.6915
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
合計の分布
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg
標準化する
z = (411.6 − 425)/26.83 = −0.5
確率
P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915
答え
P = 0.6915
8.正規分布
答え: x = 70.2 点
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
左側の面積
Φ(z) = 0.7
表からの z
z ≈ 0.52
元の単位に戻す
x = 65 + 0.52·10 = 70.2 点
答え
x = 70.2 点
9.信頼区間
答え: 下限 = 26.21
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 10, t = 1.812
誤差の幅
E = 1.812·17/√11 = 9.288
区間
35.5 ± 9.288 → [26.21, 44.79]
答え
下限 = 26.21
10.信頼区間
答え: σ = 1.274 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 29·1.6² = 74.24
σ² の限界
74.24/45.722 = 1.624
74.24/16.047 = 4.626
σ の限界
σ = √1.624 = 1.274 µm
答え
σ = 1.274 µm
σ の 95% 区間：[1.274, 2.151] µm。
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.8
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111
検定統計量
t = (48 − 50)/1.111 = −1.8
答え
t = −1.8
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: n = 409
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 1.282)·28/5)² = 408.2
切り上げる
n = 409
答え
n = 409
13.線形回帰と相関
答え: r = 0.9673
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 202/5 = 40.4
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50
Syy = Σ(y − ȳ)² = 267.2
相関係数
r = 50/√(10·267.2) = 0.9673
答え
r = 0.9673
14.線形回帰と相関
答え: e = −2.2
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 311/5 = 62.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
回帰直線
b = 120/40 = 3
a = 62.2 − 3·7 = 41.2
ŷ = 41.2 + 3·x
予測値
ŷ = 41.2 + 3·8 = 65.2
残差
e = 63 − 65.2 = −2.2
答え
e = −2.2
点は直線より下にあります。
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 1.4
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
都市部: 60·28/140 = 12, 60·42/140 = 18, 60·70/140 = 30
農村部: 80·28/140 = 16, 80·42/140 = 24, 80·70/140 = 40
カイ二乗統計量
χ² = (12 − 12)²/12 + (15 − 18)²/18 + (33 − 30)²/30 + (16 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (37 − 40)²/40
χ² = 1.4
答え
χ² = 1.4
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ² = 39.6
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
ライン 1: 70, 30
ライン 2: 28, 12
ライン 3: 70, 30
カイ二乗統計量
χ² = (55 − 70)²/70 + (45 − 30)²/30 + (21 − 28)²/28 + (19 − 12)²/12 + (92 − 70)²/70 + (8 − 30)²/30
χ² = 39.6
判断
df = 2, χ²crit = 9.210
39.6 > 9.210
答え
χ² = 39.6
χ² は臨界値より大きいので、H₀ は棄却されます：変数の間には関連があるようです。
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