記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
心理学研究法・心理統計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
確率
- 余事象
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法定理
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立な事象
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件付き確率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二項分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正規分布
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- x 未満
- P(X < x) = Φ(z)
- x より大きい
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 2 つの値の間
- Φ(z2) − Φ(z1)
- パーセンタイル
- x = μ + z·σ
解き方
- 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
- z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
- 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
- パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
線形回帰と相関
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 傾き
- b = Sxy/Sxx
- 切片
- a = ȳ − b·x̄
- 相関
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
カイ二乗検定
- 検定統計量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 適合度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 臨界値（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 判断
- χ² > χ²crit なら H0 を棄却
2演習問題
1.心理学研究法ふつう
第 1 種の過誤が起こるのは、研究者がどうしたときですか？
- A間違った統計的検定を使ったとき
- B実際には正しい帰無仮説を棄却したとき
- Cデータを集めすぎたとき
- D誤った帰無仮説を棄却しなかったとき
2.心理学研究法むずかしい
研究者は、アイスクリームの売上と水難事故による死亡が正の相関を示すことを見つけました。最ももっともらしい説明はどれですか？
- A暑い天候がアイスクリームの売上と水泳の両方を増やす
- Bアイスクリームが水難事故を引き起こす
- Cその相関は計算の誤りに違いない
- D水難事故がアイスクリームの売上を増やす
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 27, 31, 15, 34, 56。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。88 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 10x = 88
P =
5.確率ふつう
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.2, 0.25
σ =
6.確率むずかしい
ゲームの参加費は €3 です。確率 0.25 で €15、確率 0.01 で €30 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
賭け金 = €3€15: p = 0.25€30: p = 0.01
E(G) = €
7.正規分布ふつう
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。440 から 550 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 550
P =
8.正規分布むずかしい
試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。全体の 75% がそれより下にある値 x（第 75 パーセンタイル）を求めなさい。
μ = 65σ = 10P = 75%
x = 点
9.信頼区間ふつう
30 個からなる標本の平均は 39.5、標準偏差は s = 10.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 30x̄ = 39.5s = 10.590%t(29) = 1.699
下限 =
10.信頼区間むずかしい
母標準偏差は 34 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 34E = 0.595%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 118.7、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120x̄ = 118.7s = 15n = 100
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 10E = 2.590%
n =
13.線形回帰と相関ふつう
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。
n = 5
r² =
14.線形回帰と相関むずかしい
表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 7 のときの ŷ を予測しなさい。
n = 5x = 7
ŷ =
15.カイ二乗検定ふつう
分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。
N = 1802 × 3
χ² =
16.カイ二乗検定むずかしい
カイ二乗適合度検定で、9 個のカテゴリーの度数が、同じデータから平均を推定したポアソン分布に従うかどうかを調べます。 表を使って、有意水準 α = 0.05 での臨界値 χ²crit を求めなさい。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究法
答え: B · 実際には正しい帰無仮説を棄却したとき
これが答えになる理由
第 1 種の過誤は存在しない効果があると主張することです。その確率は有意水準（多くは 0.05）に等しくなります。第 2 種の過誤は本当の効果を見逃すことです。
答え
B · 実際には正しい帰無仮説を棄却したとき
2.心理学研究法
答え: A · 暑い天候がアイスクリームの売上と水泳の両方を増やす
これが答えになる理由
第三の変数である気温が両方を引き起こしています。これは、相関だけでは因果関係を示せない理由を示しています。
答え
A · 暑い天候がアイスクリームの売上と水泳の両方を増やす
3.記述統計
答え: s = 14.81
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 180/6 = 30
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−13)² + (−3)² + 1² + (−15)² + 4² + 26² = 1096
標準偏差
s = √(1096/5) = 14.81
答え
s = 14.81
4.記述統計
答え: P = 0.1151
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.2
標準正規分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
答え
P = 0.1151
5.確率
答え: σ = 1.465
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均
μ = 0·0.15 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.2 + 4·0.25 = 2.05
2 乗の平均
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.2 + 16·0.25 = 6.35
分散
Var(X) = 6.35 − 2.05² = 2.147
σ = √2.147 = 1.465
答え
σ = 1.465
6.確率
答え: E(G) = 1.05 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
純利得の結果
G: 12 (p = 0.25), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)
期待値
E(G) = 12·0.25 + 27·0.01 − 3·0.74 = 1.05 €
答え
E(G) = 1.05 €
正の値は、平均して得をすることを意味します。
7.正規分布
答え: P = 0.8275
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
z スコア
z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5
z₂ = (550 − 500)/40 = 1.25
間の面積
P = Φ(1.25) − Φ(−1.5) = 0.8944 − 0.06681 = 0.8275
答え
P = 0.8275
8.正規分布
答え: x = 71.75 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
パーセンタイルに対応する z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
x に戻す
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 点
答え
x = 71.75 点
9.信頼区間
答え: 下限 = 36.24
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 29, t = 1.699
誤差の幅
E = 1.699·10.5/√30 = 3.257
区間
39.5 ± 3.257 → [36.24, 42.76]
答え
下限 = 36.24
10.信頼区間
答え: n = 17764
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·34/0.5)² = 17764
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 17764
答え
n = 17764
11.仮説検定と信頼区間
答え: t = −0.8667
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
検定統計量
t = (118.7 − 120)/1.5 = −0.8667
答え
t = −0.8667
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
12.仮説検定と信頼区間
答え: n = 44
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.645·10/2.5)² = 43.3
切り上げる
n = 44
答え
n = 44
13.線形回帰と相関
答え: r² = 0.9439
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 346/5 = 69.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1603
決定係数
r² = 369²/(90·1603) = 0.9439
答え
r² = 0.9439
y の変動の約 94.39% が直線で説明されます。
14.線形回帰と相関
答え: ŷ = 11.65
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
平均
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 51/5 = 10.2
平方和と積和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
回帰直線
b = 58/40 = 1.45
a = 10.2 − 1.45·6 = 1.5
ŷ = 1.5 + 1.45·x
予測
ŷ = 1.5 + 1.45·7 = 11.65
答え
ŷ = 11.65
15.カイ二乗検定
答え: χ² = 0.72
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
期待度数
日勤: 100·90/180 = 50, 100·45/180 = 25, 100·45/180 = 25
夜勤: 80·90/180 = 40, 80·45/180 = 20, 80·45/180 = 20
カイ二乗統計量
χ² = (50 − 50)²/50 + (23 − 25)²/25 + (27 − 25)²/25 + (40 − 40)²/40 + (22 − 20)²/20 + (18 − 20)²/20
χ² = 0.72
答え
χ² = 0.72
df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。
16.カイ二乗検定
答え: χ²crit = 14.07
カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。
自由度
df = 9 − 1 − 1 = 7
表
χ²crit(df = 7, α = 0.05) = 14.067
答え
χ²crit = 14.067
計算した χ² がこの値より大きければ H₀ を棄却します。
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