心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

審査員による絵画の順位づけのような、2 組の順位の関係に適した統計量はどれですか？

A対応のない t 検定
Bスピアマンの順位相関係数（ρ）
Cカイ二乗
Dピアソンの r

2.心理学研究法むずかしい

コーエンの d のような効果量が報告されるのはなぜですか？

Aどんな仮説も不要にするから
B標本の大きさにかかわらず、効果がどれだけ大きいかを示すから
C選んだ有意水準で結果が統計的に有意かどうかを示す
D何人の参加者が脱落したかを示すから

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：35, 57, 44, 41, 38。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。54 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 5x = 54

z =

5.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

6.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 0.5X + 4 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 4

σ_Y =

7.正規分布ふつう

ボルトの質量は互いに独立で、平均 40 g、標準偏差 1.2 g の正規分布に従います。そのうち 12 個の合計質量が 486.2 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12> 486.2 g

P =

8.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの上位 10% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点10%

x = 点

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 89 h、既知の標準偏差 19 h。機種 2：80 台、平均 81 h、既知の標準偏差 20 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 89 hσ₁ = 19 hn₂ = 80x̄₂ = 81 hσ₂ = 20 h99%

E = h

10.信頼区間むずかしい

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：8 区画、平均収量 36.5 kg、標準偏差 4 kg。区画群 2：8 区画、平均 46.5 kg、標準偏差 6 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 8x̄₁ = 36.5s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 46.5s₂ = 695%t(14) = 2.145

下限 = kg

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 16 人の標本の平均点は 115.5、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 115.5s = 20n = 16

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 8 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 8E = 0.595%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 6 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6Σx = 120Σy = 342Σx² = 2470Σy² = 19998Σxy = 7006

r =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。新しい観測値 (1.5, 26) が得られました。その残差 e = y − ŷ を求めなさい。

n = 5(1.5, 26)

e =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。カイ二乗独立性検定のために、セル「日勤、軽微」の期待度数 E を求めなさい。

行の合計 = 82列の合計 = 84N = 172

E =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、4 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。この検定の自由度 df はいくつですか？

k = 4

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: B · スピアマンの順位相関係数（ρ）

これが答えになる理由

スピアマンの順位相関は、2 つの順位づけされた変数や順序変数の間の単調な関係の強さを測ります。

答え

B · スピアマンの順位相関係数（ρ）

2.心理学研究法

答え: B · 標本の大きさにかかわらず、効果がどれだけ大きいかを示すから

これが答えになる理由

標本が大きいと、ごく小さな効果でも有意になりえます。効果量は差の大きさを表し、たとえば d = 0.2 は小、0.5 は中、0.8 は大とされます。

答え

B · 標本の大きさにかかわらず、効果がどれだけ大きいかを示すから

3.記述統計

答え: s = 8.515

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 215/5 = 43

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−8)² + 14² + 1² + (−2)² + (−5)² = 290

標準偏差

s = √(290/4) = 8.515

答え

s = 8.515

4.記述統計

答え: z = −1.2

標準化する

z = (54 − 60)/5 = −1.2

答え

z = −1.2

5.確率

答え: Var(X) = 0.6475

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

分散

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

答え

Var(X) = 0.6475

6.確率

答え: σ_Y = 0.4023

X のばらつき

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

一次変換

σ_Y = |0.5|·0.8047 = 0.4023

答え

σ_Y = 0.4023

平均は変化します：E(Y) = 0.5·0.95 + 4 = 4.475。

7.正規分布

答え: P = 0.06811

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

標準化する

z = (486.2 − 480)/4.157 = 1.49

確率

P = 1 − Φ(1.49) = 0.06811

答え

P = 0.06811

8.正規分布

答え: x = 77.8 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.9

表からの z

z ≈ 1.28

元の単位に戻す

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 点

答え

x = 77.8 点

9.信頼区間

答え: E = 7.559 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 89 − 81 = 8

標準誤差

SE = √(19²/100 + 20²/80) = 2.934

誤差の幅

E = 2.576·2.934 = 7.559

答え

E = 7.559 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

10.信頼区間

答え: 下限 = −15.47 kg

プールした標準偏差

s_p² = (7·4² + 7·6²)/14 = 26

s_p = 5.099

誤差の幅

E = 2.145·5.099·√(1/8 + 1/8) = 5.469

区間

−10 ± 5.469 → [−15.47, −4.531]

答え

下限 = −15.47 kg

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −0.9

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

検定統計量

t = (115.5 − 120)/5 = −0.9

答え

t = −0.9

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 984

n について解く

n = (1.96·8/0.5)² = 983.4

切り上げる

n = 984

答え

n = 984

13.線形回帰と相関

答え: r = 0.8838

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 7006 − 120·342/6 = 166

S_xx = 2470 − 120²/6 = 70

S_yy = 19998 − 342²/6 = 504

相関係数

r = 166/√(70·504) = 0.8838

答え

r = 0.8838

14.線形回帰と相関

答え: e = 4.6

平均

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 92/5 = 18.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

回帰直線

b = −20/10 = −2

a = 18.4 − (−2)·3 = 24.4

ŷ = 24.4 − 2·x

予測値

ŷ = 24.4 + (−2)·1.5 = 21.4

残差

e = 26 − 21.4 = 4.6

答え

e = 4.6

点は直線より上にあります。

15.カイ二乗検定

答え: E = 40.05

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

E = 82·84/172 = 40.05

答え

E = 40.05

16.カイ二乗検定

答え: df = 3

自由度

df = 4 − 1 = 3

答え

df = 3

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