心理学研究法・心理統計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.心理学研究法ふつう

ある相関で r = 0.40 です。一方の変数の分散のうち、もう一方と共有される割合はどれだけですか？

A4%
B16%
C40%
D60%

2.心理学研究法むずかしい

質的研究における再帰性（リフレクシビティ）とは、研究者が何をすることですか？

A信頼性を確認するために研究を繰り返す
B自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する
Cテーマを数値データに変換する
Dバイアスを除くために無作為標本を使う

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：36, 18, 31, 32, 28。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。550 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 40x = 550

P =

5.確率ふつう

示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35

σ =

6.確率むずかしい

部品を 8 個試験し、各部品は独立に確率 0.7 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 8p = 0.7

P =

7.正規分布ふつう

箱の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 6 個の合計質量が 73 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6> 73 kg

P =

8.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.信頼区間ふつう

25 個からなる標本の平均は 87.5、標準偏差は s = 15.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 25x̄ = 87.5s = 15.599%t(24) = 2.797

E =

10.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 18 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 18E = 0.599%

n =

11.仮説検定と信頼区間ふつう

20 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 0.66、差の標準偏差は 1.1 です。H₀: μ_d = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 20d̄ = 0.66s_d = 1.1

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 10E = 299%

n =

13.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線の決定係数 r² を求めなさい。

n = 6

r² =

14.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数の 5 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。直線が ŷ = 82 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 5ŷ = 82

x =

15.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 2202 × 2

χ² =

16.カイ二乗検定むずかしい

カイ二乗適合度検定で、9 個のカテゴリーの観測度数を、完全に指定された期待割合と比べます（データから推定するパラメータはありません）。この検定の自由度 df はいくつですか？

k = 9

df =

3溶液

1.心理学研究法

答え: B · 16%

これが答えになる理由

決定係数は r² で、ここでは 0.40² = 0.16 なので、分散の 16% が共有されています。

答え

B · 16%

2.心理学研究法

答え: B · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

これが答えになる理由

再帰性は、データ収集と解釈に対する研究者の影響を認めるもので、質的研究の重要な質の基準です。

答え

B · 自分自身の背景や前提が分析をどう形づくりうるかを省察する

3.記述統計

答え: s = 6.782

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 145/5 = 29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 7² + (−11)² + 2² + 3² + (−1)² = 184

標準偏差

s = √(184/4) = 6.782

答え

s = 6.782

4.記述統計

答え: P = 0.1056

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056

5.確率

答え: σ = 0.9734

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.1 + 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.35 = 1.95

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.35 = 4.75

分散

Var(X) = 4.75 − 1.95² = 0.9475

σ = √0.9475 = 0.9734

答え

σ = 0.9734

6.確率

答え: P = 0.00129

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.3⁸ = 6.561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0.7·0.3⁷ = 0.001225

足し合わせる

P = 6.561 × 10⁻⁵ + 0.001225 = 0.00129

答え

P = 0.00129

7.正規分布

答え: P = 0.305

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μ_T = 72 kg, σ_T = 0.8·√6 = 1.96 kg

標準化する

z = (73 − 72)/1.96 = 0.51

確率

P = 1 − Φ(0.51) = 0.305

答え

P = 0.305

8.正規分布

答え: P = 0.9706

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

確率

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

答え

P = 0.9706

9.信頼区間

答え: E = 8.671

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 24, t = 2.797

誤差の幅

E = 2.797·15.5/√25 = 8.671

答え

E = 8.671

10.信頼区間

答え: n = 8600

n について解く

n = (2.576·18/0.5)² = 8600

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 8600

答え

n = 8600

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.683

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 1.1/√20 = 0.246

検定統計量

t = 0.66/0.246 = 2.683

答え

t = 2.683

df = 19 のとき、両側 5% の臨界値は 2.093 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 166

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (2.576·10/2)² = 165.9

切り上げる

n = 166

答え

n = 166

13.線形回帰と相関

答え: r² = 0.869

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 142/6 = 23.67

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 67.33

決定係数

r² = −32²/(17.5·67.33) = 0.869

答え

r² = 0.869

y の変動の約 86.9% が直線で説明されます。

14.線形回帰と相関

答え: x = 25.56

平均

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 382/5 = 76.4

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324

回帰直線

b = 324/90 = 3.6

a = 76.4 − 3.6·24 = −10

ŷ = −10 + 3.6·x

x について解く

x = (82 − (−10))/3.6 = 25.56

答え

x = 25.56

15.カイ二乗検定

答え: χ² = 11.6

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

男性: 100·77/220 = 35, 100·143/220 = 65

女性: 120·77/220 = 42, 120·143/220 = 78

カイ二乗統計量

χ² = (23 − 35)²/35 + (77 − 65)²/65 + (54 − 42)²/42 + (66 − 78)²/78

χ² = 11.6

答え

χ² = 11.6

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。

16.カイ二乗検定

答え: df = 8

自由度

df = 9 − 1 = 8

答え

df = 8

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