미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입
먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한
x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
로피탈 정리
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙
(uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

  1. 구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
  2. x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
  3. 필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
  4. 간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법
Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분
∫ab f dx = F(b) − F(a)
주요 적분
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이
∫ab (f − g) dx

방법

  1. 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
  2. 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
  3. 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
  4. 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통
xyy = L

극한 L = limx→∞ (−6x3 − 3x + 8)/(2x3 + 6x + 4)을(를) 구하세요.

f(x) = (−6x3 − 3x + 8)/(2x3 + 6x + 4)x → ∞
L =
2.극한어려움
xyx = 0

극한 L = limx→0 (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²을(를) 구하세요.

f(x) = (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0
L =
3.도함수보통
xyx = 1.5

f(x) = x·sin(2x)이라 합시다(x는 라디안). f′(1.5)를 구하세요.

f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad
f′(1.5) =
4.도함수어려움
xy

f(x) = x3 + 1.5x2 − 6x + 6이라 합시다. 극댓점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x3 + 1.5x2 − 6x + 6
x =
5.최적화보통
xhx뚜껑 없음

밑면이 정사각형이고 뚜껑이 없는 상자에 108000 cm³가 들어가야 합니다. 재료를 가능한 한 적게, 즉 밑면과 네 옆면의 넓이 합이 최소가 되도록 하세요. 높이 h을(를) 구하세요.

V = 108000 cm³
h = cm
6.최적화어려움
p (€)R(p)15현재

한 극장이 공연마다 표를 240장씩 장당 €15에 판매합니다. 시장 조사에 따르면 표 가격을 €1 올릴 때마다 판매량이 10장 줄고, €1 내릴 때마다 10장 늘어납니다. 공연당 최대 수입 R을(를) 구하세요.

240 × €1510 / €1
R = €
7.적분보통
xy4y = √(x)

y = √(x) 아래의 영역을 x = 0에서 x = 4까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(포물면체)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = √(x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.적분어려움
xy2.5y = 5xy = 2x²

직선 y = 5x와 포물선 y = 2x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 5xy = 2x²
V =

3용액

1.극한

답: L = −3

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

최고차항으로 나누기

(−6 + (−3)/x2 + 8/x3)/(2 + 6/x2 + 4/x3)

x → ∞

L = −6/2 = −3

답

L = −3

차수가 같으면 극한은 최고차항 계수의 비입니다.

2.극한

답: L = 1.125

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

첫 번째 적용

(1.5·e1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

두 번째 적용

2.25·e1.5x/2

x = 0 대입

L = 2.25·1/2 = 1.125

답

L = 1.125
3.도함수

답: f′(1.5) = −2.829

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙과 연쇄 법칙

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

대입하기

f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

답

f′(1.5) = −2.829
4.도함수

답: x = −2

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

도함수

f′(x) = 3x2 + 3x − 6 = 3·(x2 + x − 2)

f′(x) = 0 풀기

x = −2 또는 x = 1

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x + 3: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9
x = −2

답

x = −2
5.최적화

답: h = 30 cm

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

x의 함수로 나타낸 넓이

S(x) = x² + 432000/x

도함수를 0으로 놓기

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

x³ = 216000 → x = 60 cm

높이와 넓이

h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

답

h = 30 cm

가장 좋은 뚜껑 없는 상자는 높이가 밑변의 절반입니다.

6.최적화

답: R = 3803 €

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

가격의 함수로서의 매출

n(p) = 390 − 10p
R(p) = 390p − 10p²

도함수를 0으로 놓기

R″(p) = −20 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

p = 390/20 = €19.5

최대 수입

n = 390 − 10·19.5 = 195
R = 19.5·195 = €3803

답

R = €3803
7.적분

답: V = 25.13

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀4 x dx

적분하기

V = π·1·4²/2 = 25.13

답

V = 25.13
8.적분

답: V = 163.6

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

교점

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

와셔법

V = π∫₀2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

적분하기

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

답

V = 163.6

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