미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입: 먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한: x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
로피탈 정리: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법: Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통

극한 L = lim_x→∞ (2x³ + 4x + 2)/(2x³ + 4x + 7)을(를) 구하세요.

f(x) = (2x³ + 4x + 2)/(2x³ + 4x + 7)x → ∞

L =

2.극한어려움

극한 L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x²을(를) 구하세요.

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.도함수보통

f(x) = x·sin(x)이라 합시다(x는 라디안). f′(1.5)를 구하세요.

f(x) = x·sin(x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.도함수어려움

x = 3에서 f(x) = −x² + 3x − 6의 접선은 y축과 y = b에서 만납니다. b를 구하세요.

f(x) = −x² + 3x − 6x = 3

b =

5.최적화보통

위아래가 막힌 원기둥 캔에 500 cm³가 들어가야 합니다. 쓰이는 금속의 양은 전체 겉넓이에 비례합니다. 재료가 가장 적게 드는 캔의 높이 h을(를) 구하세요.

V = 500 cm³

h = cm

6.최적화어려움

한 회사가 매주 q개를 판매합니다. 판매할 수 있는 가격은 개당 p = 80 − 0.1q 유로이고, 비용은 C(q) = 1800 + 20q 유로입니다. 이윤을 최대로 하는 가격 p을(를) 구하세요.

p = 80 − 0.1qC = 1800 + 20q

p = €

7.적분보통

I = ∫₁⁵ x·ln x dx을(를) 계산하시오.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

8.적분어려움

포물선 y = 4 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 4 − x²

A =

3용액

1.극한

답: L = 1

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

최고차항으로 나누기

(2 + 4/x² + 2/x³)/(2 + 4/x² + 7/x³)

x → ∞

L = 2/2 = 1

답

L = 1

차수가 같으면 극한은 최고차항 계수의 비입니다.

2.극한

답: L = 0.5

첫 번째 적용

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

두 번째 적용

1·e^−x/2

x = 0 대입

L = 1·1/2 = 0.5

답

L = 0.5

3.도함수

답: f′(1.5) = 1.104

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙과 연쇄 법칙

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

대입하기

f′(1.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

답

f′(1.5) = 1.104

4.도함수

답: b = 3

접점과 기울기

f(3) = −6

f′(x) = −2x + 3 → f′(3) = −3

x = 0에서의 접선 값

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − (−3)·3 = 3

답

b = 3

5.최적화

답: h = 8.603 cm

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

r의 함수로 나타낸 넓이

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

도함수를 0으로 놓기

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4.301 cm

높이와 넓이

h = 500/(π·4.301²) = 2r = 8.603 cm

A = 2π·4.301² + 1000/4.301 = 348.7 cm²

답

h = 8.603 cm

가장 경제적인 막힌 캔은 높이와 지름이 같습니다: h = 2r.

6.최적화

답: p = 50 €

이윤 함수

P(q) = (80 − 0.1q)·q − (1800 + 20q) = −0.1q² + 60q − 1800

도함수를 0으로 놓기

P″(q) = −0.2 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

q = 60/0.2 = 300

가격과 이윤

p = 80 − 0.1·300 = €50

P = 60·300 − 0.1·300² − 1800 = €7200

답

p = €50

7.적분

답: I = 14.12

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

원시함수

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

극한

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

답

I = 14.12

8.적분

답: A = 10.67

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

영점

4 − x² = 0 → x = ±2

적분하기

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

답

A = 10.67

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