미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입
먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한
x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
로피탈 정리
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙
(uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

  1. 구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
  2. x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
  3. 필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
  4. 간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법
Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분
∫ab f dx = F(b) − F(a)
주요 적분
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이
∫ab (f − g) dx

방법

  1. 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
  2. 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
  3. 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
  4. 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통
xyy = L

극한 L = limx→∞ (−6x3 + x − 6)/(5x3 + 2x + 3)을(를) 구하세요.

f(x) = (−6x3 + x − 6)/(5x3 + 2x + 3)x → ∞
L =
2.극한어려움
xyx = 0

극한 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(x)을(를) 구하세요. x의 단위는 라디안입니다.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0
L =
3.도함수보통
xyx = 0.5

f(x) = x·sin(x)이라 합시다(x는 라디안). f′(0.5)를 구하세요.

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.도함수어려움
xy

f(x) = x3 − 9x2 + 24x − 4이라 합시다. 극댓점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x3 − 9x2 + 24x − 4
x =
5.최적화보통
rh

위아래가 막힌 원기둥 캔에 250 cm³가 들어가야 합니다. 쓰이는 금속의 양은 전체 겉넓이에 비례합니다. 가능한 최소 겉넓이 A을(를) 구하세요.

V = 250 cm³
A = cm²
6.최적화어려움
qP(q)최대

한 소기업이 제품을 개당 €20의 고정된 시장 가격에 판매합니다. q개를 생산하는 비용은 C(q) = 1300 + 4q + 0.02q² 유로입니다. 이윤을 최대로 하는 생산량 q을(를) 구하세요.

p = €20C = 1300 + 4q + 0.02q²
q = 개
7.적분보통
xy02

I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx를 계산하세요.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
8.적분어려움
xyy = 0.5x2​y = 4x

y = 0.5x2과 y = 4x로 둘러싸인 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 0.5x2y = 4x
A =

3용액

1.극한

답: L = −1.2

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

최고차항으로 나누기

(−6 + 1/x2 + (−6)/x3)/(5 + 2/x2 + 3/x3)

x → ∞

L = −6/5 = −1.2

답

L = −1.2

차수가 같으면 극한은 최고차항 계수의 비입니다.

2.극한

답: L = 3

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

로피탈 정리

L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

x = 0 대입

L = 3/1 = 3

답

L = 3
3.도함수

답: f′(0.5) = 0.9182

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙과 연쇄 법칙

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

대입하기

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

답

f′(0.5) = 0.9182
4.도함수

답: x = 2

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

도함수

f′(x) = 3x2 − 18x + 24 = 3·(x2 − 6x + 8)

f′(x) = 0 풀기

x = 2 또는 x = 4

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x − 18: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(2) = −6, f″(4) = 6
x = 2

답

x = 2
5.최적화

답: A = 219.7 cm²

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

r의 함수로 나타낸 넓이

h = 250/(πr²)
A(r) = 2πr² + 500/r

도함수를 0으로 놓기

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3.414 cm

높이와 넓이

h = 250/(π·3.414²) = 2r = 6.828 cm
A = 2π·3.414² + 500/3.414 = 219.7 cm²

답

A = 219.7 cm²

가장 경제적인 막힌 캔은 높이와 지름이 같습니다: h = 2r.

6.최적화

답: q = 400 개

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

이윤 함수

P(q) = 20q − (1300 + 4q + 0.02q²) = −0.02q2 + 16q − 1300

도함수를 0으로 놓기

P″(q) = −0.04 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

16 − 0.04q = 0 → q = 400

최대 이윤

P = 16·400 − 0.02·400² − 1300 = €1900

답

q = 400
7.적분

답: I = 41.33

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

치환적분

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

적분하고 대입하기

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41.33

답

I = 41.33
8.적분

답: A = 42.67

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

교점

0.5x2 = 4x → x = 0, x = 8

위에서 아래를 빼서 적분하기

A = [2x2 − 0.1667x3]08 = 42.67

답

A = 42.67

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