미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입: 먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한: x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
로피탈 정리: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법: Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통

극한 L = lim_x→∞ (√(x² − 2x) − x)을(를) 구하세요.

f(x) = √(x² − 2x) − xx → ∞

L =

2.극한어려움

극한 L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²을(를) 구하세요.

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.도함수보통

f(x) = x³·e^x이라 합시다. f′(0.5)를 구하세요.

f(x) = x³·e^xx = 0.5

f′(0.5) =

4.도함수어려움

f(x) = x³ − 3x − 6이라 합시다. 극솟점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x³ − 3x − 6

x =

5.최적화보통

밑면이 정사각형이고 뚜껑이 없는 상자에 13500 cm³가 들어가야 합니다. 재료를 가능한 한 적게, 즉 밑면과 네 옆면의 넓이 합이 최소가 되도록 하세요. 밑변 x을(를) 구하세요.

V = 13500 cm³

x = cm

6.최적화어려움

한 소기업이 제품을 개당 €80의 고정된 시장 가격에 판매합니다. q개를 생산하는 비용은 C(q) = 15700 + 24q + 0.01q² 유로입니다. 최대 이윤 P을(를) 구하세요.

p = €80C = 15700 + 24q + 0.01q²

P = €

7.적분보통

I = ∫₁⁴ x·ln x dx을(를) 계산하시오.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

8.적분어려움

직선 y = 4x와 포물선 y = x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 4xy = x²

V =

3용액

1.극한

답: L = −1

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

켤레식 곱하기

f(x) = −2x/(√(x² − 2x) + x)

x로 나누기

f(x) = −2/(√(1 + (−2)/x) + 1)

x → ∞

L = −2/(1 + 1) = −1

답

L = −1

2.극한

답: L = 2

첫 번째 적용

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

두 번째 적용

4·e^2x/2

x = 0 대입

L = 4·1/2 = 2

답

L = 2

3.도함수

답: f′(0.5) = 1.443

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

대입하기

f′(0.5) = 1.649·(0.75 + 0.125) = 1.443

답

f′(0.5) = 1.443

4.도함수

답: x = 1

도함수

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

f′(x) = 0 풀기

x = −1 또는 x = 1

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

답

x = 1

5.최적화

답: x = 30 cm

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

x의 함수로 나타낸 넓이

S(x) = x² + 54000/x

도함수를 0으로 놓기

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

x³ = 27000 → x = 30 cm

높이와 넓이

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

답

x = 30 cm

가장 좋은 뚜껑 없는 상자는 높이가 밑변의 절반입니다.

6.최적화

답: P = 62700 €

이윤 함수

P(q) = 80q − (15700 + 24q + 0.01q²) = −0.01q² + 56q − 15700

도함수를 0으로 놓기

P″(q) = −0.02 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

56 − 0.02q = 0 → q = 2800

최대 이윤

P = 56·2800 − 0.01·2800² − 15700 = €62700

답

P = €62700

7.적분

답: I = 7.34

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

원시함수

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

극한

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

답

I = 7.34

8.적분

답: V = 428.9

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

교점

4x = 1x² → x = 0, x = 4

와셔법

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

적분하기

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136.5 = 428.9

답

V = 428.9

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