미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입
먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한
x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
로피탈 정리
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙
(uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

  1. 구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
  2. x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
  3. 필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
  4. 간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법
Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분
∫ab f dx = F(b) − F(a)
주요 적분
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이
∫ab (f − g) dx

방법

  1. 가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
  2. 거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 ex, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
  3. 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
  4. 정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통
xyy = L

극한 L = limx→∞ (√(x2 + 9x) − x)을(를) 구하세요.

f(x) = √(x2 + 9x) − xx → ∞
L =
2.극한어려움
xyx = 0

극한 L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x²을(를) 구하세요.

f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.도함수보통
xyx = 2

f(x) = x·sin(x)이라 합시다(x는 라디안). f′(2)를 구하세요.

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.도함수어려움
xy

f(x) = x3 + 6x2 − 4이라 합시다. 극댓점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x3 + 6x2 − 4
x =
5.최적화보통
도로 쪽: €20/m€5/myyx

넓이 450 m²인 직사각형 부지의 네 변에 모두 울타리를 칩니다. 도로를 따라가는 길이 x인 변은 미터당 €20, 나머지 세 변은 미터당 €5입니다. 최소 총비용 C을(를) 구하세요.

A = 450 m²€20/m€5/m
C = €
6.최적화어려움
qP(q)최대

한 회사가 매주 q개를 판매합니다. 판매할 수 있는 가격은 개당 p = 190 − 0.1q 유로이고, 비용은 C(q) = 11300 + 95q 유로입니다. 최대 주간 이윤 P을(를) 구하세요.

p = 190 − 0.1qC = 11300 + 95q
P = €
7.적분보통
xy2y = 3x

y = 3x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 2까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 3x0 ≤ x ≤ 2
V =
8.적분어려움
xy−33

포물선 y = 9 − x²과 x축 사이 영역의 넓이 A를 구하세요.

y = 9 − x²
A =

3용액

1.극한

답: L = 4.5

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

켤레식 곱하기

f(x) = 9x/(√(x2 + 9x) + x)

x로 나누기

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4.5

답

L = 4.5
2.극한

답: L = 0.5

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

첫 번째 적용

(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0

두 번째 적용

1·e−x/2

x = 0 대입

L = 1·1/2 = 0.5

답

L = 0.5
3.도함수

답: f′(2) = 0.077

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙과 연쇄 법칙

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

대입하기

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

답

f′(2) = 0.077
4.도함수

답: x = −4

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

도함수

f′(x) = 3x2 + 12x = 3·(x2 + 4x)

f′(x) = 0 풀기

x = −4 또는 x = 0

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x + 12: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12
x = −4

답

x = −4
5.최적화

답: C = 670.8 €

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

x의 함수로 나타낸 비용

C(x) = 25x + 4500/x

도함수를 0으로 놓기

C″(x) = 9000/x³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

x = √(4500/25) = 13.42 m
y = 450/13.42 = 33.54 m

최소 비용

C = 25·13.42 + 4500/13.42 = €670.8

답

C = €670.8
6.최적화

답: P = 11263 €

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

이윤 함수

P(q) = (190 − 0.1q)·q − (11300 + 95q) = −0.1q2 + 95q − 11300

도함수를 0으로 놓기

P″(q) = −0.2 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

q = 95/0.2 = 475

가격과 이윤

p = 190 − 0.1·475 = €142.5
P = 95·475 − 0.1·475² − 11300 = €11263

답

P = €11263
7.적분

답: V = 75.4

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

원판법

V = π∫₀2 9x² dx

적분하기

V = π·9·2³/3 = 75.4

답

V = 75.4

확인: 반지름 6, 높이 2인 원뿔은 (1/3)πr²h = 75.4입니다.

8.적분

답: A = 36

정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.

영점

9 − x² = 0 → x = ±3

적분하기

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

답

A = 36

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