미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입: 먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한: x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
로피탈 정리: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법: Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통

극한 L = lim_x→∞ (3x³ − x − 8)/(5x³ + x + 2)을(를) 구하세요.

f(x) = (3x³ − x − 8)/(5x³ + x + 2)x → ∞

L =

2.극한어려움

극한 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²을(를) 구하세요.

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.도함수보통

f(x) = x·sin(x)이라 합시다(x는 라디안). f′(2)를 구하세요.

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.도함수어려움

x = −2에서 f(x) = −x² − 5x + 3의 접선은 y축과 y = b에서 만납니다. b를 구하세요.

f(x) = −x² − 5x + 3x = −2

b =

5.최적화보통

위아래가 막힌 원기둥 캔에 250 cm³가 들어가야 합니다. 쓰이는 금속의 양은 전체 겉넓이에 비례합니다. 재료가 가장 적게 드는 캔의 높이 h을(를) 구하세요.

V = 250 cm³

h = cm

6.최적화어려움

한 소기업이 제품을 개당 €50의 고정된 시장 가격에 판매합니다. q개를 생산하는 비용은 C(q) = 8100 + 14q + 0.02q² 유로입니다. 이윤을 최대로 하는 생산량 q을(를) 구하세요.

p = €50C = 8100 + 14q + 0.02q²

q = 개

7.적분보통

I = ∫₀^π x·sin x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀^π x·sin x dx

I =

8.적분어려움

직선 y = x와 포물선 y = 0.5x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.

y = xy = 0.5x²

V =

3용액

1.극한

답: L = 0.6

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

최고차항으로 나누기

(3 + (−1)/x² + (−8)/x³)/(5 + 1/x² + 2/x³)

x → ∞

L = 3/5 = 0.6

답

L = 0.6

차수가 같으면 극한은 최고차항 계수의 비입니다.

2.극한

답: L = 4.5

첫 번째 적용

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

두 번째 적용

9·e^3x/2

x = 0 대입

L = 9·1/2 = 4.5

답

L = 4.5

3.도함수

답: f′(2) = 0.077

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

곱의 법칙과 연쇄 법칙

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

대입하기

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

답

f′(2) = 0.077

4.도함수

답: b = 7

접점과 기울기

f(−2) = 9

f′(x) = −2x − 5 → f′(−2) = −1

x = 0에서의 접선 값

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − (−1)·(−2) = 7

답

b = 7

5.최적화

답: h = 6.828 cm

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

r의 함수로 나타낸 넓이

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

도함수를 0으로 놓기

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3.414 cm

높이와 넓이

h = 250/(π·3.414²) = 2r = 6.828 cm

A = 2π·3.414² + 500/3.414 = 219.7 cm²

답

h = 6.828 cm

가장 경제적인 막힌 캔은 높이와 지름이 같습니다: h = 2r.

6.최적화

답: q = 900 개

이윤 함수

P(q) = 50q − (8100 + 14q + 0.02q²) = −0.02q² + 36q − 8100

도함수를 0으로 놓기

P″(q) = −0.04 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

36 − 0.04q = 0 → q = 900

최대 이윤

P = 36·900 − 0.02·900² − 8100 = €8100

답

q = 900

7.적분

답: I = 3.142

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

원시함수

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

극한

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3.142

답

I = 3.142

8.적분

답: V = 3.351

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

교점

1x = 0.5x² → x = 0, x = 2

와셔법

V = π∫₀² ((1x)² − (0.5x²)²) dx

적분하기

V = π(1·2³/3 − 0.25·2⁵/5) = π·1.067 = 3.351

답

V = 3.351

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