공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
극한 L = limx→∞ (1 + 0.5/x)3x을(를) 구하세요. 소수로 답하세요.
극한 L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(x)을(를) 구하세요. x의 단위는 라디안입니다.
f(x) = x·sin(2x)이라 합시다(x는 라디안). f′(1)를 구하세요.
f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 5이라 합시다. 극솟점의 x좌표 x를 구하세요.
넓이 450 m²인 직사각형 부지의 네 변에 모두 울타리를 칩니다. 도로를 따라가는 길이 x인 변은 미터당 €15, 나머지 세 변은 미터당 €10입니다. 최소 총비용 C을(를) 구하세요.
한 회사가 매주 q개를 판매합니다. 판매할 수 있는 가격은 개당 p = 110 − 2q 유로이고, 비용은 C(q) = 200 + 60q 유로입니다. 이윤을 최대로 하는 주간 생산량 q을(를) 구하세요.
y = 2x 아래의 영역을 x = 0에서 x = 2까지 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체(원뿔)의 부피 V을(를) 구하시오.
y = x2과 y = 2x로 둘러싸인 영역의 넓이 A를 구하세요.
답: L = 4.482
극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.
u → 0일 때 ln(1 + u)/u → 1이므로 x·ln(1 + a/x) → a.
답: L = 4
극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.
답: f′(1) = 0.077
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
답: x = 6
미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.
f″(x) = 6x − 27: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.
답: C = 948.7 €
최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.
C″(x) = 18000/x³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.
답: q = 12.5 개
최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.
P″(q) = −4 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.
답: V = 33.51
회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.
확인: 반지름 4, 높이 2인 원뿔은 (1/3)πr²h = 33.51입니다.
답: A = 1.333
정적분: ∫ₐᵇ f(x) dx는 a부터 b까지 그래프와 x축 사이의 부호 있는 넓이입니다. 원시함수 F(F′ = f)를 구하고 F(b) − F(a)를 계산합니다. 거듭제곱 법칙: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). 두 곡선 사이의 넓이는 ∫(위 − 아래) dx입니다.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1