미적분학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

극한

직접 대입: 먼저 x = a를 대입해 보고, 0/0이 나오면 식을 간단히 하세요
인수분해 후 약분: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
켤레식: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
무한대에서의 극한: x의 최고차항으로 나누세요. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 됩니다
특수 극한: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
로피탈 정리: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

도함수

거듭제곱 미분법: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′
몫의 미분법: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
연쇄 법칙: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
주요 도함수: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

방법

구조를 파악하세요: 합, 곱, 몫, 또는 합성.
x의 각 거듭제곱에 거듭제곱 법칙을 적용하세요.
필요한 곳에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄 법칙을 쓰세요.
간단히 하고, 문제에서 요구하면 해당 점에서 값을 구하세요.

최적화

방법: Q(x)를 한 변수로 나타내고 Q′(x) = 0을 풀어 Q″ 또는 끝점을 확인하세요
최댓값: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
최솟값: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
닫힌 원기둥: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
이익: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

적분

거듭제곱 미분법: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
정적분: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
주요 적분: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
곡선 사이의 넓이: ∫_a^b (f − g) dx

방법

가능하면 피적분 함수를 간단한 항들의 합으로 다시 쓰세요.
거듭제곱 법칙 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)과 e^x, 1/x, sin, cos의 기본 적분을 적용하세요.
함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환을 쓰세요.
정적분은 F(b) − F(a)를 계산하세요.

2연습 문제

1.극한보통

극한 L = lim_x→∞ (−4x² + 4x + 3)/(x² + 4x + 7)을(를) 구하세요.

f(x) = (−4x² + 4x + 3)/(x² + 4x + 7)x → ∞

L =

2.극한어려움

극한 L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²을(를) 구하세요.

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.도함수보통

f(x) = ln(3x² + 2)이라 합시다. f′(1)를 구하세요.

f(x) = ln(3x² + 2)x = 1

f′(1) =

4.도함수어려움

f(x) = x³ − 12x² + 36x + 3이라 합시다. 극댓점의 x좌표 x를 구하세요.

f(x) = x³ − 12x² + 36x + 3

x =

5.최적화보통

위아래가 막힌 원기둥 캔에 355 cm³가 들어가야 합니다. 쓰이는 금속의 양은 전체 겉넓이에 비례합니다. 재료가 가장 적게 드는 반지름 r을(를) 구하세요.

V = 355 cm³

r = cm

6.최적화어려움

한 극장이 공연마다 표를 140장씩 장당 €10에 판매합니다. 시장 조사에 따르면 표 가격을 €1 올릴 때마다 판매량이 10장 줄고, €1 내릴 때마다 10장 늘어납니다. 공연당 최대 수입 R을(를) 구하세요.

140 × €1010 / €1

R = €

7.적분보통

I = ∫₀² x·sin x dx (x는 라디안)을 계산하시오.

∫₀² x·sin x dx

I =

8.적분어려움

직선 y = 5x와 포물선 y = 2x² 사이의 영역을 x축 둘레로 회전시킵니다. 이 입체의 부피 V을(를) 구하시오.

y = 5xy = 2x²

V =

3용액

1.극한

답: L = −4

극한: 먼저 직접 대입해 보세요. 0/0이 나오면 먼저 식을 간단히 하세요: 인수분해해서 공통인수를 약분하거나, 켤레식을 곱합니다. x → ∞일 때는 분자와 분모를 x의 최고차항으로 나눕니다. 로피탈 정리: f/g가 0/0 또는 ∞/∞ 꼴이면 lim f/g = lim f′/g′이며, 분자와 분모를 (몫의 미분법이 아니라) 각각 따로 미분합니다.

최고차항으로 나누기

(−4 + 4/x + 3/x²)/(1 + 4/x + 7/x²)

x → ∞

L = −4/1 = −4

답

L = −4

차수가 같으면 극한은 최고차항 계수의 비입니다.

2.극한

답: L = 1.125

첫 번째 적용

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

두 번째 적용

2.25·e^1.5x/2

x = 0 대입

L = 2.25·1/2 = 1.125

답

L = 1.125

3.도함수

답: f′(1) = 1.2

미분: 도함수 f′(x)는 x에서 그래프의 기울기입니다. 거듭제곱 법칙: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. 곱의 법칙: (uv)′ = u′v + uv′. 연쇄 법칙: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0인 곳에서 그래프의 접선은 수평이며, 극대·극소·안장점 중 하나입니다.

로그의 연쇄 법칙

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

대입하기

f′(1) = 6/5 = 1.2

답

f′(1) = 1.2

4.도함수

답: x = 2

도함수

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

f′(x) = 0 풀기

x = 2 또는 x = 6

어느 쪽이 무엇인지

f″(x) = 6x − 24: 극대에서는 음수, 극소에서는 양수.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 2

답

x = 2

5.최적화

답: r = 3.837 cm

최적화: 최적화할 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 제약 조건으로 다른 변수를 없앱니다. 도함수를 0으로 놓고 푸세요. 임계점이 최대인지 최소인지(2계 도함수 또는 1계 도함수의 부호 변화) 확인하고, 허용 범위 안에 있는지 확인하세요. 변의 길이가 0인 것 같은 끝점은 답이 아닙니다.

r의 함수로 나타낸 넓이

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

도함수를 0으로 놓기

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0이므로 이것은 최솟값입니다.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm

높이와 넓이

h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm

A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²

답

r = 3.837 cm

가장 경제적인 막힌 캔은 높이와 지름이 같습니다: h = 2r.

6.최적화

답: R = 1440 €

가격의 함수로서의 매출

n(p) = 240 − 10p

R(p) = 240p − 10p²

도함수를 0으로 놓기

R″(p) = −20 < 0이므로 이것은 최댓값입니다.

p = 240/20 = €12

최대 수입

n = 240 − 10·12 = 120

R = 12·120 = €1440

답

R = €1440

7.적분

답: I = 1.742

부분적분: ∫u·dv = u·v − ∫v·du이며, 곱의 미분법에서 나옵니다. u는 미분하면 더 간단해지는 인수(x의 거듭제곱 또는 ln x)로, dv는 적분할 수 있는 인수(eˣ, sin x, cos x, 또는 u = ln x일 때의 x)로 고르세요. 정적분에서는 u·v를 양 끝에서 계산합니다: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² 인수는 두 번 적용해야 합니다.

u와 dv 고르기

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

원시함수

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

극한

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1.742

답

I = 1.742

8.적분

답: V = 163.6

회전체의 부피: y = f(x)의 아래, x = a에서 x = b까지의 영역을 x축 둘레로 회전시키면 x에서의 단면이 반지름 f(x)인 원판인 입체가 만들어집니다. 원판들을 더하면 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx입니다. 영역이 바깥 곡선 R(x)와 안쪽 곡선 r(x) 사이에 있으면 각 조각은 와셔(고리)이며, V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx입니다. 반지름을 빼기 전에 먼저 제곱하세요.

교점

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

와셔법

V = π∫₀^2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

적분하기

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

답

V = 163.6

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