제어공학 2: 피드백 제어 설계: 벼락치기 팩

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jω_d를 가지며 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, 피크 시간 t_p = π/ω_d, 2 % 정착 시간 t_s ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jω_d를 가지며 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, 피크 시간 t_p = π/ω_d, 2 % 정착 시간 t_s ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ω_c = 1/(RC) 또는 R/L이며 f_c = ω_c/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)와 φ = −atan(ω/ω_c)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ω_c: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jω_c). 위상 교차 주파수 ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ω_c = 1/(RC) 또는 R/L이며 f_c = ω_c/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)와 φ = −atan(ω/ω_c)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ω_c: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jω_c). 위상 교차 주파수 ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

라우스–후르비츠 판별법: 선형 시스템은 특성다항식의 모든 근이 s평면의 좌반평면에 있을 때 안정합니다. 계수를 번갈아 라우스 표의 처음 두 행에 적습니다. 새 행의 각 항은 바로 위 두 행에서 구합니다. 3차식 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀에서 s¹ 항은 b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂입니다. 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 근의 개수와 같습니다. 계수에 이득 K가 들어 있으면 첫 번째 열의 모든 항이 양수로 유지되어야 합니다. s¹ 항을 0으로 만드는 이득이 안정 한계이고, 이때 s² 행으로 지속 진동의 주파수를 구합니다.

근궤적: 이득 K를 0에서 ∞까지 변화시키면 폐루프 극점, 즉 1 + K·G(s) = 0의 근은 개루프 극점에서 개루프 영점 또는 무한대로 이동합니다. 실수축 위의 점은 그 오른쪽에 있는 실수 극점과 영점의 개수가 홀수일 때 근궤적에 속합니다. 무한대로 가는 n − m개의 가지는 점근선을 따르며, 그 각도는 (2q + 1)·180°/(n − m)이고 중심점 σₐ = (Σ 극점 − Σ 영점)/(n − m)에서 출발합니다. 가지는 dK/ds = 0인 곳에서 실수축을 떠나거나 만납니다. 각도 조건 ∠G(s) = 180°가 궤적의 모양을 정하고, 크기 조건 K = 1/|G(s)|가 궤적 위 임의의 점에서의 이득을 줍니다.

정상상태 오차: 개루프 전달함수 G(s)인 단위 피드백 루프에서 오차는 E(s) = R(s)/(1 + G(s))이고, 최종값 정리에 의해 e_ss = lim_s→0 s·E(s)입니다. 시스템 형은 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수입니다. 오차 상수는 K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s)이며 모두 s → 0에서의 극한입니다. 크기 A의 계단 입력은 e_ss = A/(1 + K_p), 램프 입력 A·t는 A/K_v, 포물선 입력 A·t²/2은 A/K_a를 줍니다. 0형 루프는 계단 입력을 유한한 오차로 추종하고, 1형 루프는 계단 입력을 정확히 추종하며 램프 입력은 유한한 오차로 추종합니다.

P, PI, PID 제어: 제어기 C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s는 오차에 작용합니다. 비례 이득은 루프를 빠르게 하고 0형 플랜트의 오차를 줄이지만 완전히 없애지는 못합니다. 적분 항은 s = 0에 극점을 추가합니다. 시스템 형이 하나 올라가고 계단 입력을 오차 없이 추종합니다. 미분 항은 감쇠를 더합니다. 이득을 정하려면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζω_ns + ω_n²과 비교하세요. 그러면 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d이며 ω_d = ω_n√(1 − ζ²), t_s ≈ 4/(ζω_n)입니다.

블록선도 대수: 직렬 블록은 곱하고(G₁·G₂), 병렬 블록은 더하며(G₁ + G₂), 순방향 경로 G와 피드백 경로 H를 가진 루프는 부(−)피드백이면 T = G/(1 + G·H), 정(+)피드백이면 G/(1 − G·H)로 줄어듭니다. 안쪽 루프부터 줄이고 바깥으로 진행하세요. 폐루프 극점은 특성방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 근입니다. 안정한 루프에서 크기 A의 계단 입력은 정상상태 출력 A·T(0)을 줍니다. 단위 피드백에서 계단 입력에 대한 정상상태 오차는 A/(1 + K_p)이고 K_p = G(0)입니다.

블록선도 대수: 직렬 블록은 곱하고(G₁·G₂), 병렬 블록은 더하며(G₁ + G₂), 순방향 경로 G와 피드백 경로 H를 가진 루프는 부(−)피드백이면 T = G/(1 + G·H), 정(+)피드백이면 G/(1 − G·H)로 줄어듭니다. 안쪽 루프부터 줄이고 바깥으로 진행하세요. 폐루프 극점은 특성방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 근입니다. 안정한 루프에서 크기 A의 계단 입력은 정상상태 출력 A·T(0)을 줍니다. 단위 피드백에서 계단 입력에 대한 정상상태 오차는 A/(1 + K_p)이고 K_p = G(0)입니다.