계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.
표준형과 비교하기
분모가 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 일치해야 합니다.
ωₙ² = 90 → ωₙ = 9.487 rad/s
2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·9.487) = 0.3689
결과
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.247 = 28.74 %
답
%OS = 28.74 %
2.계단 응답
답: xmax = 250.1 mm
계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.
고유 진동수와 감쇠비
ωₙ = √(k/m) = √(500/8) = 7.906 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 51/(2·√(500·8)) = 0.4032
결과
xst = F/k = 100/500 m = 200 mm
%OS = 25.05 %
xmax = 200·(1 + 0.2505) = 250.1 mm
답
xmax = 250.1 mm
3.보드 선도와 여유
답: |H| = −0.97 dB
주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.
차단 주파수
ωc = 1/(RC) = 1/(22000·4.7 × 10⁻⁸) = 967.1 rad/s
fc = 153.9 Hz → f/fc = 77/153.9 = 0.5003
이득
|H| = 1/√(1 + 0.5003²) = 0.8943
20·log₁₀(0.8943) = −0.97 dB
답
|H| = −0.97 dB
4.보드 선도와 여유
답: PM = 49.92 °
주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.
이득 교차
ω⁴ + 1ω² − 1.21 = 0
ω² = (−1 + √(1 + 4·1.21))/2 = 0.7083
ωc = 0.8416 rad/s
위상 여유
∠L(jωc) = −90° − atan(0.8416/1) = −130.1°
PM = 180° + ∠L = 49.92°
답
PM = 49.92°
5.안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적
답: Kmax = 264
라우스–후르비츠 판별법: 선형 시스템은 특성다항식의 모든 근이 s평면의 좌반평면에 있을 때 안정합니다. 계수를 번갈아 라우스 표의 처음 두 행에 적습니다. 새 행의 각 항은 바로 위 두 행에서 구합니다. 3차식 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀에서 s¹ 항은 b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂입니다. 첫 번째 열의 부호 변화 횟수는 우반평면에 있는 근의 개수와 같습니다. 계수에 이득 K가 들어 있으면 첫 번째 열의 모든 항이 양수로 유지되어야 합니다. s¹ 항을 0으로 만드는 이득이 안정 한계이고, 이때 s² 행으로 지속 진동의 주파수를 구합니다.
특성방정식
s³ + 11s² + 24s + K = 0
라우스 배열
s³: 1, 24
s²: 11, K
s¹: (11·24 − K)/11
s⁰: K
조건
첫 번째 열의 모든 항이 양수여야 합니다.
K > 0
11·24 − K > 0 → K < 264
답
Kmax = 264
K = 264에서 폐루프는 ω = √24 = 4.899 rad/s로 진동합니다.
6.안정도: 라우스–후르비츠와 근궤적
답: σa = −4.333
근궤적: 이득 K를 0에서 ∞까지 변화시키면 폐루프 극점, 즉 1 + K·G(s) = 0의 근은 개루프 극점에서 개루프 영점 또는 무한대로 이동합니다. 실수축 위의 점은 그 오른쪽에 있는 실수 극점과 영점의 개수가 홀수일 때 근궤적에 속합니다. 무한대로 가는 n − m개의 가지는 점근선을 따르며, 그 각도는 (2q + 1)·180°/(n − m)이고 중심점 σₐ = (Σ 극점 − Σ 영점)/(n − m)에서 출발합니다. 가지는 dK/ds = 0인 곳에서 실수축을 떠나거나 만납니다. 각도 조건 ∠G(s) = 180°가 궤적의 모양을 정하고, 크기 조건 K = 1/|G(s)|가 궤적 위 임의의 점에서의 이득을 줍니다.
극점과 영점
극점: −8, −2, −3
n − m = 3 − 0 = 3
도심
σa = (−13)/3 = −4.333
답
σa = −4.333
3개의 점근선이 중심점에서 60°, 180°, 300°의 각도로 뻗어 나갑니다.
7.정상상태 오차와 PID 제어
답: K = 450
정상상태 오차: 개루프 전달함수 G(s)인 단위 피드백 루프에서 오차는 E(s) = R(s)/(1 + G(s))이고, 최종값 정리에 의해 ess = lims→0 s·E(s)입니다. 시스템 형은 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수입니다. 오차 상수는 Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)이며 모두 s → 0에서의 극한입니다. 크기 A의 계단 입력은 ess = A/(1 + Kp), 램프 입력 A·t는 A/Kv, 포물선 입력 A·t²/2은 A/Ka를 줍니다. 0형 루프는 계단 입력을 유한한 오차로 추종하고, 1형 루프는 계단 입력을 정확히 추종하며 램프 입력은 유한한 오차로 추종합니다.
필요한 오차 상수
1/(1 + Kp) = 0.1 → Kp = 9
이득
K/50 = 9 → K = 450
답
K = 450
폐루프의 안정성도 확인하세요. 이 2차 루프는 K > 0이면 항상 안정합니다.
8.정상상태 오차와 PID 제어
답: %OS = 56.48 %
P, PI, PID 제어: 제어기 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s는 오차에 작용합니다. 비례 이득은 루프를 빠르게 하고 0형 플랜트의 오차를 줄이지만 완전히 없애지는 못합니다. 적분 항은 s = 0에 극점을 추가합니다. 시스템 형이 하나 올라가고 계단 입력을 오차 없이 추종합니다. 미분 항은 감쇠를 더합니다. 이득을 정하려면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζωns + ωn²과 비교하세요. 그러면 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd이며 ωd = ωn√(1 − ζ²), ts ≈ 4/(ζωn)입니다.
특성다항식
s(s + 8) + 50·10 = s² + 8s + 500
ωₙ과 ζ
ωₙ = √500 = 22.36 rad/s
ζ = 8/(2·22.36) = 0.1789
오버슈트
%OS = 100·e−0.1789π/√(1 − 0.1789²) = 56.48 %
답
%OS = 56.48 %
9.블록선도
답: K = 2.25
블록선도 대수: 직렬 블록은 곱하고(G₁·G₂), 병렬 블록은 더하며(G₁ + G₂), 순방향 경로 G와 피드백 경로 H를 가진 루프는 부(−)피드백이면 T = G/(1 + G·H), 정(+)피드백이면 G/(1 − G·H)로 줄어듭니다. 안쪽 루프부터 줄이고 바깥으로 진행하세요. 폐루프 극점은 특성방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 근입니다. 안정한 루프에서 크기 A의 계단 입력은 정상상태 출력 A·T(0)을 줍니다. 단위 피드백에서 계단 입력에 대한 정상상태 오차는 A/(1 + Kp)이고 Kp = G(0)입니다.