자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

안정(stable) 정렬 알고리즘은 무엇입니까?

  1. A병합 정렬
  2. B퀵 정렬(일반적인 제자리 버전)
  3. C힙 정렬
  4. D선택 정렬(일반적인 버전)
2.알고리즘과 복잡도어려움

P와 NP에 대한 설명 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. ANP 문제는 빠르게 검증할 수 없다
  2. BP ≠ NP임이 증명되었다
  3. CP에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다
  4. DNP는 "not polynomial"을 의미한다
3.자료구조보통

균형 이진 탐색 트리에서 키를 탐색하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.자료구조어려움

힙 정렬에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A어떤 입력에서든 O(n) 시간에 실행된다
  2. B최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
  3. C안정적이며 O(n)의 추가 메모리가 필요하다
  4. D추가 저장소로 이진 탐색 트리가 필요하므로 O(n)의 추가 메모리를 쓴다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 8개이고 간선이 13개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 8|E| = 13
k =
6.그래프 이론어려움
165936111419ABCDEF

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 6|E| = 8
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 병합 정렬

이것이 답인 이유

병합 정렬은 값이 같을 때 왼쪽 절반에서 먼저 가져오도록 병합하면 안정적입니다. 제자리 퀵 정렬, 힙 정렬, 선택 정렬은 일반적으로 안정적이지 않습니다.

답

A · 병합 정렬
2.알고리즘과 복잡도

답: C · P에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다

이것이 답인 이유

P ⊆ NP입니다. 문제를 빠르게 풀 수 있다면 해도 빠르게 검증할 수 있습니다. P = NP인지는 여전히 미해결 문제입니다.

답

C · P에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다
3.자료구조

답: A · O(log n)

이것이 답인 이유

균형 트리의 높이는 약 log₂ n이므로, 탐색은 루트에서 리프까지 하나의 경로만 따라갑니다.

답

A · O(log n)
4.자료구조

답: B · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다

이것이 답인 이유

힙 정렬은 최대 힙을 만들고 같은 배열 안에서 최댓값을 n번 추출합니다. 먼 거리의 교환이 같은 키의 순서를 바꿀 수 있습니다.

답

B · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
5.그래프 이론

답: k = 6

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

8 − 1 = 7

제거할 간선

k = 13 − 7 = 6

답

k = 6
6.그래프 이론

답: W = 37

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BD (3): 선택
AC (5): 선택
CE (6): 선택
BC (9): 선택
DE (11): 건너뜀, 사이클이 생김
DF (14): 선택

총 가중치

W = 3 + 5 + 6 + 9 + 14 = 37

답

W = 37

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