자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가득 차면 용량을 두 배로 늘리는 동적 배열에 원소를 추가하는 연산의 분할 상환(amortised) 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.알고리즘과 복잡도어려움

카라추바 곱셈은 T(n) = 3T(n/2) + O(n)을 만족합니다. 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(nlog₂ 3), 약 n1.585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n log n)
3.자료구조보통

키를 정렬된 순서로 삽입하면, n개의 노드를 가진 이진 탐색 트리의 최악의 높이는 얼마입니까?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. Cn (연결 리스트처럼 됨)
  4. D√n
4.자료구조어려움

모든 B-트리를 완벽하게 균형 잡힌 상태로 유지하는 성질은 무엇입니까?

  1. A모든 노드의 자식이 정확히 두 개이다
  2. B각 노드가 키를 하나 저장한다
  3. C키는 루트에만 저장된다
  4. D모든 리프가 같은 깊이에 있다
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
9194121420181052ABCDEFG

프림 알고리즘이 정점 F에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 3번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Fk = 3
  1. 1간선 AC
  2. 2간선 BC
  3. 3간선 BD
  4. 4간선 CE
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 GB
  8. 8간선 GC
  9. 9간선 GD
  10. 10간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(1)

이것이 답인 이유

모든 원소의 복사는 크기가 2의 거듭제곱일 때만 발생하므로, 모든 추가 연산에 나누어 보면 추가 한 번당 평균 비용은 상수입니다.

답

A · O(1)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · Θ(nlog₂ 3), 약 n1.585

이것이 답인 이유

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1이므로 마스터 정리에 따라 잎이 지배하며, O(n²)인 초등학교 방법보다 빠릅니다.

답

A · Θ(nlog₂ 3), 약 n1.585
3.자료구조

답: C · n (연결 리스트처럼 됨)

이것이 답인 이유

정렬된 순서로 삽입하면 높이가 n인 퇴화 트리가 만들어져 탐색이 O(n)이 됩니다. 균형 트리는 이를 방지합니다.

답

C · n (연결 리스트처럼 됨)
4.자료구조

답: D · 모든 리프가 같은 깊이에 있다

이것이 답인 이유

노드는 가득 차면 위로 분할되고, 트리는 루트가 분할될 때만 높아지므로 모든 리프는 항상 같은 레벨에 있습니다.

답

D · 모든 리프가 같은 깊이에 있다
5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

홀수 정점

0
오일러 회로

답

오일러 회로
6.그래프 이론

답: 간선 GD

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. DF (20)
2. BD (4)
3. GD (5)
4. GE (2)
5. GC (10)
6. AC (9)

간선 번호 3

GD

답

간선 GD

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