자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

퀵 정렬이 항상 첫 원소를 피벗으로 사용합니다. 어떤 입력에서 최악의 경우 동작을 보입니까?

  1. A이미 정렬된 배열
  2. B무작위 순서의 배열
  3. C길이가 2인 배열
  4. D원소가 모두 다른 배열
2.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에
  2. B음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에
  3. C정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
  4. D무방향 그래프에서만 동작하기 때문에
3.자료구조보통

AVL 트리와 레드-블랙 트리가 보장하는 것은 무엇입니까?

  1. A재균형을 통한 O(log n) 높이
  2. B모든 경우의 상수 시간 탐색
  3. C키가 삽입 순서대로 저장됨
  4. D자식이 두 개인 노드가 없음
4.자료구조어려움

위상 정렬을 위한 칸(Kahn) 알고리즘은 진입 차수가 0인 정점을 반복해서 제거합니다. 그런 정점들은 어떤 구조에 보관됩니까?

  1. A진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)
  2. B진출 차수로 정렬된 최대 힙
  3. C이미 제거된 정점이 어느 것인지 기록하는 인접 행렬
  4. D방문한 모든 간선의 스택
5.그래프 이론보통

완전그래프 K5의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K5
H =
6.그래프 이론어려움
1515143474113ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 이미 정렬된 배열

이것이 답인 이유

정렬된 입력에서는 피벗이 항상 최솟값이므로 한쪽은 비고 다른 쪽에 n − 1개의 원소가 남아 O(n²)이 됩니다.

답

A · 이미 정렬된 배열
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에

이것이 답인 이유

탐욕적 단계는 추출된 거리가 확정되도록 음이 아닌 가중치에 의존합니다. 가중치가 음수일 수 있으면 벨만-포드를 사용합니다.

답

C · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
3.자료구조

답: A · 재균형을 통한 O(log n) 높이

이것이 답인 이유

자가 균형 트리는 높이를 로그 수준으로 유지하므로 탐색, 삽입, 삭제가 최악의 경우에도 O(log n)입니다.

답

A · 재균형을 통한 O(log n) 높이
4.자료구조

답: A · 진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)

이것이 답인 이유

준비된 정점들은 큐에 보관됩니다. 하나를 제거하면 이웃의 진입 차수가 줄고, 0에 도달한 정점은 추가되어 O(V + E) 시간이 걸립니다.

답

A · 진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)
5.그래프 이론

답: H = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12
6.그래프 이론

답: d(F) = 29

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 15, C: 15
B (15): G: 19
C (15): E: 18
E (18): D: 22
G (19)
D (22): F: 29
F (29)

최단 경로

A → C → E → D → F
d(F) = 29

답

d(F) = 29

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