자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(n²) 알고리즘이 O(n³)이기도 하다고 말하는 것은 옳습니까?

  1. A아니요, Big O는 함수의 정확한 증가율을 항상 나타내야 하기 때문에
  2. B예, 단 n이 100보다 작을 때만
  3. C예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
  4. D아니요, 큰 n에서 n³이 n²보다 작기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

P와 NP에 대한 설명 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. AP ≠ NP임이 증명되었다
  2. BNP는 "not polynomial"을 의미한다
  3. CP에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다
  4. DNP 문제는 빠르게 검증할 수 없다
3.자료구조보통

트라이(접두사 트리)는 특히 어떤 작업에 효율적입니까?

  1. A숫자 정렬
  2. B행렬 저장
  3. C자동 완성과 같은 접두사 검색
  4. D최단 경로 찾기
4.자료구조어려움

O(1)의 추가 메모리로 단일 연결 리스트에 사이클이 있는지 어떻게 탐지할 수 있습니까?

  1. A포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
  2. B방문한 모든 노드를 해시 집합에 저장한다
  3. C리스트를 정렬하고 중복을 찾는다
  4. D개수가 리스트 길이 필드를 넘을 때까지 노드를 센다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 2개, 차수가 2인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 33 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
41113281918ABCDEF

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 6|E| = 8
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에

이것이 답인 이유

Big O는 상한이므로 이 진술은 참이지만 정확한 한계는 아닙니다. Θ(n²)이 정확한 증가율을 나타냅니다.

답

C · 예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: C · P에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다

이것이 답인 이유

P ⊆ NP입니다. 문제를 빠르게 풀 수 있다면 해도 빠르게 검증할 수 있습니다. P = NP인지는 여전히 미해결 문제입니다.

답

C · P에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다
3.자료구조

답: C · 자동 완성과 같은 접두사 검색

이것이 답인 이유

트라이는 문자열을 경로를 따라 문자 단위로 저장하므로, 조회와 접두사 질의에 키 길이에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

C · 자동 완성과 같은 접두사 검색
4.자료구조

답: A · 포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다

이것이 답인 이유

플로이드 알고리즘에서는 사이클이 있으면 빠른 포인터가 결국 느린 포인터를 따라잡고, 그렇지 않으면 빠른 포인터가 null에 도달합니다.

답

A · 포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
5.그래프 이론

답: L = 18

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 40 = 2(L + 12) − 2
L = 18

답

L = 18

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: W = 29

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BC (1): 선택
CE (2): 선택
BD (3): 선택
AB (4): 선택
DE (8): 건너뜀, 사이클이 생김
AC (11): 건너뜀, 사이클이 생김
BE (18): 건너뜀, 사이클이 생김
DF (19): 선택

총 가중치

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 19 = 29

답

W = 29

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