자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n²)
BO(n)
CO(n log n)
DO(n³)

2.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

A일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
B루프는 피해야 한다
C모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
D모든 프로그램은 결국 정지한다

3.자료구조보통

리스트 중간에 있는 노드에 대한 참조가 있습니다. 어떤 리스트에서 그 노드를 O(1)에 제거할 수 있습니까?

A동적 배열
B단일 연결 리스트
C정렬된 배열
D이중 연결 리스트

4.자료구조어려움

개방 주소법을 사용하는 해시 테이블에서 삭제할 때 "툼스톤"(tombstone) 표시를 자주 사용하는 이유는 무엇입니까?

A툼스톤이 해싱 속도를 높이기 때문이다
B보안을 위해 삭제된 키를 영구히 보관해야 하므로 슬롯을 재사용할 수 없기 때문이다
C슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다
D테이블이 정렬된 상태가 되기 때문이다

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 13개이고 간선이 22개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 13|E| = 22

k =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n²)

이것이 답인 이유

안쪽 본문은 모두 n(n + 1) / 2번 실행되며, 이는 여전히 이차입니다.

답

A · O(n²)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

이것이 답인 이유

Turing은 정지 문제가 결정 불가능(undecidable)함을 보였습니다. 판정기가 존재한다고 가정하면 그 반대로 동작하는 프로그램과 모순이 생깁니다.

답

C · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

3.자료구조

답: D · 이중 연결 리스트

이것이 답인 이유

이중 연결 노드는 자신의 이전 노드를 알기 때문에 prev와 next를 직접 다시 연결할 수 있습니다. 단일 연결 리스트는 이전 노드를 찾아야 합니다.

답

D · 이중 연결 리스트

4.자료구조

답: C · 슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다

이것이 답인 이유

삭제된 슬롯이 비게 되면 이후의 탐색이 일찍 멈춰서 탐사 체인의 더 뒤쪽에 배치된 키를 놓칠 수 있습니다.

답

C · 슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다

5.그래프 이론

답: k = 10

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

13 − 1 = 12

제거할 간선

k = 22 − 12 = 10

답

k = 10

6.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 1, C: 14

2. B (1): D: 9, G: 16

3. D (9): E: 11, F: 13

4. E (11)

5. F (13)

6. C (14): G: 15

7. G (15)

단계 3

답

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