자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열을 한 번 정렬한 뒤 이진 탐색으로 k개의 소속 질의에 답합니다. 전체 비용은 얼마입니까?

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

큰 n에서 n!과 2ⁿ은 어떻게 비교됩니까?

  1. An!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
  2. Bn!은 O(n²)이다
  3. C같은 비율로 증가한다
  4. D2ⁿ이 n!보다 빠르게 증가한다
3.자료구조보통

깊이 우선 탐색(반복 버전)에서 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A해시 테이블만
  2. B스택
  3. C힙
  4. D큐
4.자료구조어려움

AVL 트리에 키를 삽입했더니 어떤 노드의 왼쪽 서브트리가 너무 높아졌고, 새 키는 그 왼쪽 자식의 왼쪽 서브트리에 들어갔습니다(left-left 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A노드와 그 자식의 색 바꾸기
  2. B불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전
  3. C불균형 노드에서 단일 왼쪽 회전
  4. D자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 3개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
31891117810ABCDE

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 4
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n log n + k log n)

이것이 답인 이유

정렬에 O(n log n), 질의마다 O(log n)이 듭니다. k가 크면 k번의 선형 탐색(O(nk))보다 낫습니다.

답

D · O(n log n + k log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다

이것이 답인 이유

n ≥ 4에서 n!은 2ⁿ을 넘고, n!의 추가 인수가 각각 2보다 크므로 그 비는 한없이 커집니다.

답

A · n!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
3.자료구조

답: B · 스택

이것이 답인 이유

DFS는 가능한 한 깊이 탐색하므로 자연스럽게 스택(또는 재귀의 호출 스택)을 사용하고, BFS는 큐를 사용합니다.

답

B · 스택
4.자료구조

답: B · 불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

Left-left 경우에는 오른쪽 회전 한 번이 왼쪽 자식을 위로 올려 균형을 회복합니다. 지그재그 경우에는 이중 회전이 필요합니다.

답

B · 불균형 노드에서 단일 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: L = 13

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 33 = 2(L + 11) − 2
L = 13

답

L = 13

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: 간선 BE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. AB (3)
2. DE (8)
3. BC (9)
4. BE (10)

간선 번호 4

BE

답

간선 BE

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