자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A모든 그래프에서의 위상 순서
  2. B시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
  3. C최소 신장 트리
  4. D음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도어려움

위상 정렬은 어떤 그래프에서만 가능합니까?

  1. A완전 그래프
  2. B방향성 비순환 그래프(DAG)
  3. C무방향 그래프
  4. D음의 가중치를 가진 그래프
3.자료구조보통

키를 정렬된 순서로 삽입하면, n개의 노드를 가진 이진 탐색 트리의 최악의 높이는 얼마입니까?

  1. Alog₂ n
  2. Bn (연결 리스트처럼 됨)
  3. C√n
  4. D1
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

  1. A임의 위치에 원소 삽입
  2. B배열 정렬과 이진 탐색
  3. C접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
  4. DO(1)에 중앙값 찾기
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 19개이고 간선이 27개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 19|E| = 27
k =
6.그래프 이론어려움
98125411415ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 4단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

B · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 방향성 비순환 그래프(DAG)

이것이 답인 이유

위상 순서는 방향 그래프에 사이클이 없을 때에만 존재하며, DFS나 Kahn 알고리즘으로 O(V + E)에 찾을 수 있습니다.

답

B · 방향성 비순환 그래프(DAG)
3.자료구조

답: B · n (연결 리스트처럼 됨)

이것이 답인 이유

정렬된 순서로 삽입하면 높이가 n인 퇴화 트리가 만들어져 탐색이 O(n)이 됩니다. 균형 트리는 이를 방지합니다.

답

B · n (연결 리스트처럼 됨)
4.자료구조

답: C · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

C · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론

답: k = 9

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

19 − 1 = 18

제거할 간선

k = 27 − 18 = 9

답

k = 9
6.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 9, C: 8
2. C (8)
3. B (9): D: 14, E: 24
4. D (14): E: 18, F: 25
5. E (18): F: 22
6. F (22)

단계 4

D

답

D

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