자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(log n)처럼 Big O에서 로그의 밑을 보통 생략하는 이유는 무엇입니까?

  1. A밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
  2. B로그는 항상 정수로 반올림되기 때문에
  3. C컴퓨터 과학의 모든 로그는 밑이 10이므로 생략해도 알 수 있기 때문에
  4. D밑은 n이 작을 때만 중요하기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

최단 단순 경로는 다항 시간에 찾을 수 있습니다. 일반 그래프에서 두 정점 사이의 최장 단순 경로를 찾는 것에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

  1. ANP-hard이다
  2. B결정 불가능하다
  3. C가중치를 음수로 바꾼 다익스트라 알고리즘으로 풀 수 있다
  4. D항상 O(V + E)에 풀 수 있다
3.자료구조보통

원형 버퍼(링 버퍼)는 일반적으로 무엇을 구현하는 데 사용됩니까?

  1. A그래프 순회
  2. B이진 탐색 트리
  3. C해시 함수
  4. D고정 크기 큐
4.자료구조어려움

이진 힙에서 decrease-key(원소의 위치를 알고 있는 경우)의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에

이것이 답인 이유

밑을 바꾸면 로그에 상수가 곱해지는데, Big O는 상수 계수를 무시합니다.

답

A · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: A · NP-hard이다

이것이 답인 이유

길이 V − 1인 최장 단순 경로는 NP-complete 문제인 해밀턴 경로입니다. 다만 방향 비순환 그래프에서는 선형 시간에 풀 수 있습니다.

답

A · NP-hard이다
3.자료구조

답: D · 고정 크기 큐

이것이 답인 이유

링 버퍼는 순환하는 head와 tail 인덱스를 사용하여 고정된 메모리에서 O(1) enqueue와 dequeue를 제공합니다.

답

D · 고정 크기 큐
4.자료구조

답: D · O(log n)

이것이 답인 이유

키를 감소시킨 후 원소는 최대 힙의 높이만큼 위로 이동합니다(sift up). 피보나치 힙은 분할 상환 O(1) decrease-key를 달성합니다.

답

D · O(log n)
5.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

B, C → 2
오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

공통 이웃

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

답

N = 3

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