자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n − 1) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n²)
CO(2ⁿ)
DO(n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

결정 불가능한 문제와 다루기 어려운 문제의 차이는 무엇입니까?

A결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다
B둘 다 그 문제에 알고리즘이 전혀 없다는 뜻이다
C다루기 어려운 문제는 어떤 알고리즘으로도 풀 수 없고, 결정 불가능한 문제는 지수 시간만 있으면 된다
D결정 불가능한 문제는 NP에, 다루기 어려운 문제는 P에 속한다

3.자료구조보통

이진 최소 힙에서 extract-min은 어떻게 동작합니까?

A루트를 제거하고 모든 원소를 왼쪽으로 한 칸씩 이동시킨다
B배열의 마지막 원소를 제거한다
C마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다
D모든 리프에서 새로운 최솟값을 찾는다

4.자료구조어려움

get과 put이 O(1)인 LRU(least recently used) 캐시를 지원하는 자료 구조는 무엇입니까?

A이진 탐색 트리만
B해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합
C스택만
D하나의 정렬된 배열

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₈의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₈

H =

6.그래프 이론어려움

B에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

배열의 재귀적 합처럼 각 단계의 작업이 상수인 n개의 단계가 있습니다.

답

D · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: A · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

이것이 답인 이유

정지 문제에는 알고리즘이 전혀 없습니다. TSP 같은 NP-hard 문제는 무차별 대입으로 풀 수 있지만, 알려진 다항 시간에는 풀 수 없습니다.

답

A · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

3.자료구조

답: C · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

이것이 답인 이유

마지막 원소가 루트의 빈자리를 채우고, 힙 성질이 성립할 때까지 더 작은 자식과 교환되며, O(log n)이 걸립니다.

답

C · 마지막 원소를 루트로 옮기고 아래로 내린다

4.자료구조

답: B · 해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합

이것이 답인 이유

해시 맵은 노드를 O(1)에 찾고, 이중 연결 리스트는 접근한 원소를 앞으로 옮기고 뒤에서 제거하는 작업을 O(1)에 수행합니다.

답

B · 해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합

5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 0 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 0 1

E: 0 0 1 0 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)_BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 3

답

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms