자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정렬된 배열에서 양 끝에서 포인터를 하나씩 안쪽으로 움직이며 합이 목표값인 두 원소를 찾습니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n)
CO(n²)
DO(n log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

쿡-레빈 정리는 무엇을 확립했습니까?

AP는 NP와 같지 않다
B모든 NP 문제는 지수 시간에 풀 수 있다
C불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다
D정지 문제는 결정 불가능하다

3.자료구조보통

높이를 간선 수로 셀 때, 높이가 h인 포화 이진 트리의 노드는 몇 개입니까?

Ah²
B2^h
C2h + 1
D2^h+1 − 1

4.자료구조어려움

개방 주소법을 사용하는 해시 테이블에서 삭제할 때 "툼스톤"(tombstone) 표시를 자주 사용하는 이유는 무엇입니까?

A슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다
B테이블이 정렬된 상태가 되기 때문이다
C보안을 위해 삭제된 키를 영구히 보관해야 하므로 슬롯을 재사용할 수 없기 때문이다
D툼스톤이 해싱 속도를 높이기 때문이다

5.그래프 이론보통

트리에 차수가 5인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 5

L =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n)

이것이 답인 이유

합이 너무 작으면 왼쪽 포인터가 오른쪽으로, 너무 크면 오른쪽 포인터가 왼쪽으로 움직이므로 단계는 최대 n번입니다.

답

B · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다

이것이 답인 이유

쿡과 레빈은 NP의 모든 문제가 다항 시간에 SAT로 환원됨을 독립적으로 보였으므로 SAT는 최초로 알려진 NP-complete 문제가 되었습니다.

답

C · 불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다

3.자료구조

답: D · 2^h+1 − 1

이것이 답인 이유

1 + 2 + 4 + ... + 2^h를 더하면 2^h+1 − 1입니다. 예를 들어 높이가 2이면 노드는 7개입니다.

답

D · 2^h+1 − 1

4.자료구조

답: A · 슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다

이것이 답인 이유

삭제된 슬롯이 비게 되면 이후의 탐색이 일찍 멈춰서 탐사 체인의 더 뒤쪽에 배치된 키를 놓칠 수 있습니다.

답

A · 슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다

5.그래프 이론

답: L = 14

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 20 = 2(L + 4) − 2

L = 14

답

L = 14

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 10

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 5, C: 7

B (5): D: 6, E: 6

D (6): F: 10

E (6)

C (7)

F (10)

최단 경로

A → B → D → F

d(F) = 10

답

d(F) = 10

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