자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

플로이드-워셜 알고리즘은 무엇을 얼마나 빠르게 계산합니까?

  1. A한 출발 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로를 O(V + E)에
  2. B모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
  3. C최소 신장 트리를 O(E log V)에
  4. D위상 정렬 순서를 O(V²)에
2.알고리즘과 복잡도어려움

동적 프로그래밍으로 푸는 0/1 배낭 문제는 O(nW) 시간이 걸립니다. 이것을 의사 다항 시간(pseudo-polynomial)이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

  1. An이 항상 작기 때문이다
  2. BW는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
  3. C알고리즘이 무작위화되어 있어 입력마다 실행 시간이 달라지기 때문이다
  4. DW = 0일 때만 작동하기 때문이다
3.자료구조보통

트라이(접두사 트리)는 특히 어떤 작업에 효율적입니까?

  1. A자동 완성과 같은 접두사 검색
  2. B숫자 정렬
  3. C최단 경로 찾기
  4. D행렬 저장
4.자료구조어려움

배열에서 크기 k인 모든 윈도우의 최댓값을 전체 O(n)에 계산할 수 있게 하는 구조는 무엇입니까?

  1. A윈도우마다 다시 만드는 최소 힙
  2. B값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
  3. C이동으로 갱신하는 정렬된 배열
  4. D윈도우 원소들의 단일 연결 리스트
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 8개이고 간선이 18개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 8|E| = 18
k =
6.그래프 이론어려움
1431156817ABCDE

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 4
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에

이것이 답인 이유

플로이드-워셜은 각 정점을 차례로 중간 지점으로 허용하는 동적 계획법 알고리즘으로 O(V³) 시간을 사용합니다.

답

B · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
2.알고리즘과 복잡도

답: B · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

이것이 답인 이유

실행 시간은 W의 값에 대해서는 다항식이지만 그 길이(log W 비트)에 대해서는 지수적입니다. 0/1 배낭 문제는 NP-완전입니다.

답

B · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
3.자료구조

답: A · 자동 완성과 같은 접두사 검색

이것이 답인 이유

트라이는 문자열을 경로를 따라 문자 단위로 저장하므로, 조회와 접두사 질의에 키 길이에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

A · 자동 완성과 같은 접두사 검색
4.자료구조

답: B · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱

이것이 답인 이유

덱의 앞은 항상 윈도우의 최댓값입니다. 각 인덱스는 덱에 한 번 들어오고 한 번 나가므로 작업량은 선형입니다.

답

B · 값의 내림차순으로 인덱스를 담는 덱
5.그래프 이론

답: k = 11

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

8 − 1 = 7

제거할 간선

k = 18 − 7 = 11

답

k = 11
6.그래프 이론

답: 간선 DE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. AC (3)
2. BD (5)
3. CE (6)
4. DE (8)

간선 번호 4

DE

답

간선 DE

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