자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 배낭 문제 변형에서 탐욕적 규칙 "무게당 가치 순으로 물건 담기"가 항상 최적의 답을 줍니까?

  1. A물건을 나눌 수 있는 분할 가능 배낭 문제
  2. B어느 변형도 아님
  3. C물건을 통째로만 담아야 하는 0/1 배낭 문제
  4. D두 변형 모두
3.자료구조보통

높이를 간선 수로 셀 때, 높이가 h인 포화 이진 트리의 노드는 몇 개입니까?

  1. A2h + 1
  2. Bh2
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h
4.자료구조어려움

정렬된 연결 리스트와 비교했을 때 스킵 리스트의 주요 장점은 무엇입니까?

  1. A추가 메모리를 사용하지 않는다
  2. B여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
  3. C키를 순서 없이 저장한다
  4. D모든 노드가 다른 모든 노드에 대한 포인터를 저장하므로 O(1) 탐색이 보장된다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K5의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K5
H =
6.그래프 이론어려움
123101166212ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 D까지의 최단 경로의 길이 d(D)을(를) 구하시오.

시작: A끝: D
d(D) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n)

이것이 답인 이유

마스터 정리에 따라 nlog₂ 2 = n이 상수 작업을 지배하므로, 절반으로 나누어 최댓값을 찾을 때처럼 T(n) = Θ(n)입니다.

답

B · O(n)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 물건을 나눌 수 있는 분할 가능 배낭 문제

이것이 답인 이유

물건을 나눌 수 있으면 비율이 가장 좋은 것부터 담는 것이 최적입니다. 0/1 배낭 문제에서는 비율이 높은 물건이 더 나은 조합을 막을 수 있어 동적 계획법이 필요합니다.

답

A · 물건을 나눌 수 있는 분할 가능 배낭 문제
3.자료구조

답: C · 2h+1 − 1

이것이 답인 이유

1 + 2 + 4 + ... + 2h를 더하면 2h+1 − 1입니다. 예를 들어 높이가 2이면 노드는 7개입니다.

답

C · 2h+1 − 1
4.자료구조

답: B · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다

이것이 답인 이유

무작위로 정해지는 레벨 덕분에 탐색 시 많은 노드를 건너뛸 수 있어, 탐색, 삽입, 삭제의 기대 시간이 O(log n)입니다.

답

B · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
5.그래프 이론

답: H = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12
6.그래프 이론

답: d(D) = 17

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 12, C: 3
C (3): E: 9
E (9): F: 11
F (11): D: 17
B (12)
D (17)

최단 경로

A → C → E → F → D
d(D) = 17

답

d(D) = 17

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