자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(log n)처럼 Big O에서 로그의 밑을 보통 생략하는 이유는 무엇입니까?

A컴퓨터 과학의 모든 로그는 밑이 10이므로 생략해도 알 수 있기 때문에
B로그는 항상 정수로 반올림되기 때문에
C밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
D밑은 n이 작을 때만 중요하기 때문에

2.알고리즘과 복잡도어려움

2²ⁿ은 O(2ⁿ)에 속합니까?

A예, 둘 다 지수이기 때문에
B예, 지수의 상수 계수는 Big O에서 항상 무시되기 때문에
C아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에
D아니요, 2²ⁿ이 2ⁿ보다 느리게 증가하기 때문에

3.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

A루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
B모든 리프를 방문하여 비교한다
C루트만 본다
D루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다

4.자료구조어려움

원소가 n개인 이진 최소 힙에서 임의의 키를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

AO(n)
BO(log n)
CO(log log n)
DO(1)

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₈의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₈

H =

6.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7

W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에

이것이 답인 이유

밑을 바꾸면 로그에 상수가 곱해지는데, Big O는 상수 계수를 무시합니다.

답

C · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에

이것이 답인 이유

지수에 상수를 더하면 상수배가 되지만, 지수에 상수를 곱하면 밑과 증가율이 바뀝니다.

답

C · 아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에

3.자료구조

답: A · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

이것이 답인 이유

가장 왼쪽 노드보다 작은 키는 트리에 없으므로 그것이 최솟값입니다. 비용은 높이에 비례합니다.

답

A · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

4.자료구조

답: A · O(n)

이것이 답인 이유

힙에는 어떤 서브트리에 키가 있는지에 대한 규칙이 없으므로 최악의 경우 모든 노드를 확인해야 합니다. 빠르게 찾을 수 있는 것은 최솟값뿐입니다.

답

A · O(n)

5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520

6.그래프 이론

답: W = 17

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

DE (1): 선택

BC (2): 선택

BD (6): 선택

CE (7): 건너뜀, 사이클이 생김

AC (8): 선택

총 가중치

W = 1 + 2 + 6 + 8 = 17

답

W = 17

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