자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열에 대한 병합 정렬의 재귀에는 몇 개의 단계가 있습니까?

  1. A약 √n
  2. B약 n
  3. C약 n / 2
  4. D약 log₂ n
2.알고리즘과 복잡도어려움

결정 문제 X가 NP-complete임을 증명하려면 어떤 두 가지를 보여야 합니까?

  1. AX가 P에 속하고, X가 SAT로 환원된다
  2. BX가 NP에 속하고, 알려진 NP-complete 문제가 다항 시간에 X로 환원된다
  3. CX가 P에 속하는 문제로 환원되고, X가 NP에 속한다
  4. DX에 다항 알고리즘이 없고, X가 결정 가능하다
3.자료구조보통

키 50, 30, 70, 20, 40을 이 순서로 빈 이진 탐색 트리에 삽입합니다. 30의 왼쪽 자식은 무엇입니까?

  1. A70
  2. B20
  3. C40
  4. D50
4.자료구조어려움

크러스컬의 최소 신장 트리 알고리즘에서 union-find 구조는 무엇에 사용됩니까?

  1. A간선을 가중치순으로 정렬하는 것
  2. B시작 정점을 고르는 것
  3. C탐색 중 각 정점의 출발점으로부터의 현재 거리를 저장하는 것
  4. D간선의 두 끝점이 이미 연결되어 있는지 확인하는 것
5.그래프 이론보통

완전그래프 K5의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K5
H =
6.그래프 이론어려움
811891419231017ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 10
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 약 log₂ n

이것이 답인 이유

n에서 1까지 절반씩 줄이면 약 log₂ n 단계가 걸리고 각 단계에서 O(n)의 병합 작업을 하므로 O(n log n)입니다.

답

D · 약 log₂ n
2.알고리즘과 복잡도

답: B · X가 NP에 속하고, 알려진 NP-complete 문제가 다항 시간에 X로 환원된다

이것이 답인 이유

NP 소속은 X가 NP보다 어렵지 않음을 보이고, 알려진 NP-complete 문제로부터의 환원은 X가 NP 전체만큼은 어렵다는 것을 보입니다.

답

B · X가 NP에 속하고, 알려진 NP-complete 문제가 다항 시간에 X로 환원된다
3.자료구조

답: B · 20

이것이 답인 이유

20은 50보다 작고 30보다 작으므로 30의 왼쪽 자식이 됩니다. 40은 30의 오른쪽 자식이 됩니다.

답

B · 20
4.자료구조

답: D · 간선의 두 끝점이 이미 연결되어 있는지 확인하는 것

이것이 답인 이유

Find는 두 끝점이 같은 연결 요소에 있는지 알려 줍니다. 그렇지 않으면 간선을 추가하고 union으로 연결 요소들을 합칩니다.

답

D · 간선의 두 끝점이 이미 연결되어 있는지 확인하는 것
5.그래프 이론

답: H = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12
6.그래프 이론

답: W = 37

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

AC (1): 선택
EF (2): 선택
GC (3): 선택
AB (8): 선택
BD (9): 선택
GD (10): 건너뜀, 사이클이 생김
CE (14): 선택

총 가중치

W = 1 + 2 + 3 + 8 + 9 + 14 = 37

답

W = 37

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