자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

외판원 문제는 어떻게 분류됩니까?

  1. A결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
  2. B결정 버전은 P에 속하지만 최적화 버전은 NP-complete이다
  3. C다익스트라 알고리즘이 모든 도시를 한 번씩 방문하여 풀기 때문에 P에 속한다
  4. D결정 불가능하다
3.자료구조보통

알파벳이 고정된 트라이(trie)에서 길이 L인 단어를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

  1. A저장된 단어 수와 관계없이 O(L)
  2. BO(L × n)
  3. Cn이 단어 수일 때 O(log n)
  4. Dn이 단어 수일 때 O(n)
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

  1. AO(1)에 중앙값 찾기
  2. B접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
  3. C임의 위치에 원소 삽입
  4. D배열 정렬과 이진 탐색
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 4개, 차수가 2인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
3615114141012ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 4단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(log n)

이것이 답인 이유

각 단계마다 문제가 절반이 되고 단계당 작업이 상수이므로 약 log₂ n 단계가 있습니다.

답

D · O(log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다

이것이 답인 이유

"길이가 최대 k인 순회가 있는가?"는 NP-complete입니다. 최단 순회를 찾는 것은 최소한 그만큼 어려우므로 NP-hard입니다.

답

A · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
3.자료구조

답: A · 저장된 단어 수와 관계없이 O(L)

이것이 답인 이유

각 문자가 자식 하나를 선택하므로, 트라이에 단어가 얼마나 있든 조회는 L 단계가 걸립니다.

답

A · 저장된 단어 수와 관계없이 O(L)
4.자료구조

답: B · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

B · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론

답: L = 26

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 54 = 2(L + 15) − 2
L = 26

답

L = 26

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: E

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 3
2. B (3): C: 9, D: 18, E: 15
3. C (9): E: 10
4. E (10): F: 20
5. D (18)
6. F (20)

단계 4

E

답

E

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