자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(log n)처럼 Big O에서 로그의 밑을 보통 생략하는 이유는 무엇입니까?

  1. A밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
  2. B밑은 n이 작을 때만 중요하기 때문에
  3. C컴퓨터 과학의 모든 로그는 밑이 10이므로 생략해도 알 수 있기 때문에
  4. D로그는 항상 정수로 반올림되기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

삽입 정렬은 정렬된 입력에서 O(n)에 실행됩니다. 이것은 비교 정렬의 Ω(n log n) 하한과 모순됩니까?

  1. A예, 단 길이가 100보다 짧은 배열에서만
  2. B아니요, 삽입 정렬은 비교 정렬이 아니기 때문에
  3. C아니요, 하한은 모든 입력이 아니라 모든 입력에 걸친 최악의 경우에 적용된다
  4. D예, 따라서 하한이 틀렸다
3.자료구조보통

무방향 그래프의 인접 행렬에 대해 참인 것은 무엇입니까?

  1. A각 행에 1이 정확히 하나 있다
  2. B주대각선에 대해 대칭이다
  3. C항상 상삼각 행렬이다
  4. D주대각선에는 항상 1이 들어 있다
4.자료구조어려움

스플레이 트리는 접근할 때마다 무엇을 합니까?

  1. A접근한 노드를 리프로 옮긴다
  2. B접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다
  3. C트리 전체를 균형 잡힌 형태로 다시 만든다
  4. D탐색 경로의 노드 색을 바꾼다
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

B에서 C까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에

이것이 답인 이유

밑을 바꾸면 로그에 상수가 곱해지는데, Big O는 상수 계수를 무시합니다.

답

A · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 아니요, 하한은 모든 입력이 아니라 모든 입력에 걸친 최악의 경우에 적용된다

이것이 답인 이유

하한은 모든 비교 정렬이 크기 n인 어떤 입력에서 약 n log n번의 비교가 필요하다는 것입니다. 특별한 입력은 훨씬 빠를 수 있습니다.

답

C · 아니요, 하한은 모든 입력이 아니라 모든 입력에 걸친 최악의 경우에 적용된다
3.자료구조

답: B · 주대각선에 대해 대칭이다

이것이 답인 이유

무방향 그래프에서 간선 {u, v}는 M[u][v]와 M[v][u]가 모두 설정된다는 뜻이므로, 행렬은 그 전치 행렬과 같습니다.

답

B · 주대각선에 대해 대칭이다
4.자료구조

답: B · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

이것이 답인 이유

스플레이는 회전을 통해 접근한 노드를 루트로 옮깁니다. 연산 한 번은 O(n)이 들 수 있지만 분할 상환 비용은 O(log n)입니다.

답

B · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

홀수 정점

A, B, D, E → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)BC = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 1

답

N = 1

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