자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

도달 가능한 기저 사례가 없는 재귀 함수에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A컴파일러가 항상 안전하게 끝나는 루프로 바꾼다
  2. B자동으로 0을 반환한다
  3. C호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
  4. DO(1) 시간에 실행된다
2.알고리즘과 복잡도어려움

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 이진 힙을 사용한 다익스트라 알고리즘의 실행 시간은 얼마입니까?

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO((V + E) log V)
3.자료구조보통

용량이 n인 배열에 저장된 원형 큐에서 인덱스 i 다음 위치는 어떻게 계산합니까?

  1. A(i − 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

  1. A배열 정렬과 이진 탐색
  2. B임의 위치에 원소 삽입
  3. CO(1)에 중앙값 찾기
  4. D접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 2개, 차수가 5인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
131491816420102ABCDEF

크루스칼 알고리즘이 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요. 건너뛴 간선은 세지 않는다.

k = 5
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 CE
  6. 6간선 DE
  7. 7간선 DF
  8. 8간선 EF
  9. 9간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다

이것이 답인 이유

기저 사례가 없으면 재귀는 결코 멈추지 않습니다. 실제로는 스택 프레임용 메모리가 바닥나 프로그램이 비정상 종료됩니다.

답

C · 호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
2.알고리즘과 복잡도

답: D · O((V + E) log V)

이것이 답인 이유

V번의 extract-min과 최대 E번의 decrease-key 연산이 있고 각각 O(log V)입니다. 피보나치 힙을 쓰면 O(E + V log V)로 개선됩니다.

답

D · O((V + E) log V)
3.자료구조

답: C · (i + 1) mod n

이것이 답인 이유

나머지 연산이 인덱스 n − 1을 다시 0으로 돌려 주므로, 원소를 이동시키지 않고 배열을 재사용할 수 있습니다.

답

C · (i + 1) mod n
4.자료구조

답: D · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

D · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론

답: L = 10

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

답

L = 10

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: 간선 AB

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

1. BE (2)
2. DE (4)
3. BC (9)
4. EF (10)
5. AB (13)

간선 번호 5

AB

답

간선 AB

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