자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(n)
CO(n³)
DO(n²)

2.알고리즘과 복잡도어려움

동적 프로그래밍으로 푸는 0/1 배낭 문제는 O(nW) 시간이 걸립니다. 이것을 의사 다항 시간(pseudo-polynomial)이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

An이 항상 작기 때문이다
BW는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
C알고리즘이 무작위화되어 있어 입력마다 실행 시간이 달라지기 때문이다
DW = 0일 때만 작동하기 때문이다

3.자료구조보통

실행 중인 프로그램이 활성 함수 호출과 그 지역 변수를 추적하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

A호출 스택(call stack)
B함수들의 해시 테이블
C프레임들의 이진 탐색 트리
D힙 메모리 큐

4.자료구조어려움

정점이 V개이고 인접 행렬로 저장된 그래프에서 너비 우선 탐색의 실행 시간은 얼마입니까?

AO(V + E)
BO(V)
CO(E log V)
DO(V²)

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₆의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₆

H =

6.그래프 이론어려움

E에서 A까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n²)

이것이 답인 이유

안쪽 본문은 모두 n(n + 1) / 2번 실행되며, 이는 여전히 이차입니다.

답

D · O(n²)

2.알고리즘과 복잡도

답: B · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

이것이 답인 이유

실행 시간은 W의 값에 대해서는 다항식이지만 그 길이(log W 비트)에 대해서는 지수적입니다. 0/1 배낭 문제는 NP-완전입니다.

답

B · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

3.자료구조

답: A · 호출 스택(call stack)

이것이 답인 이유

각 호출은 스택 프레임을 push하고 각 반환은 그것을 pop하므로, 가장 최근의 호출이 먼저 끝납니다.

답

A · 호출 스택(call stack)

4.자료구조

답: D · O(V²)

이것이 답인 이유

V개의 각 정점이 V개 항목의 행을 훑으므로 O(V²)입니다. 인접 리스트를 쓰면 BFS는 O(V + E)입니다.

답

D · O(V²)

5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60

6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 0

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)_EA = 0·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 1

답

N = 1

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