자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

플로이드-워셜 알고리즘은 무엇을 얼마나 빠르게 계산합니까?

  1. A최소 신장 트리를 O(E log V)에
  2. B한 출발 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로를 O(V + E)에
  3. C위상 정렬 순서를 O(V²)에
  4. D모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
2.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에
  2. B우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에
  3. C무방향 그래프에서만 동작하기 때문에
  4. D정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
3.자료구조보통

키 50, 30, 70, 20, 40을 이 순서로 빈 이진 탐색 트리에 삽입합니다. 30의 왼쪽 자식은 무엇입니까?

  1. A20
  2. B70
  3. C40
  4. D50
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

  1. AO(1)에 중앙값 찾기
  2. B임의 위치에 원소 삽입
  3. C접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
  4. D배열 정렬과 이진 탐색
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 6개이고 간선이 8개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 6|E| = 8
k =
6.그래프 이론어려움
161561037121ABCDEF

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 6|E| = 8
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에

이것이 답인 이유

플로이드-워셜은 각 정점을 차례로 중간 지점으로 허용하는 동적 계획법 알고리즘으로 O(V³) 시간을 사용합니다.

답

D · 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 O(V³)에
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에

이것이 답인 이유

탐욕적 단계는 추출된 거리가 확정되도록 음이 아닌 가중치에 의존합니다. 가중치가 음수일 수 있으면 벨만-포드를 사용합니다.

답

D · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
3.자료구조

답: A · 20

이것이 답인 이유

20은 50보다 작고 30보다 작으므로 30의 왼쪽 자식이 됩니다. 40은 30의 오른쪽 자식이 됩니다.

답

A · 20
4.자료구조

답: C · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

이것이 답인 이유

펜윅 트리는 각 인덱스의 하위 비트로 결정되는 범위의 부분합을 저장하므로 접두사 합과 점 갱신 모두 O(log n)이 걸립니다.

답

C · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
5.그래프 이론

답: k = 3

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

6 − 1 = 5

제거할 간선

k = 8 − 5 = 3

답

k = 3
6.그래프 이론

답: W = 36

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BE (1): 선택
DE (3): 선택
BD (6): 건너뜀, 사이클이 생김
DF (7): 선택
CE (10): 선택
EF (12): 건너뜀, 사이클이 생김
AC (15): 선택

총 가중치

W = 1 + 3 + 7 + 10 + 15 = 36

답

W = 36

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