자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

프림 알고리즘은 최소 신장 트리를 어떻게 만듭니까?

  1. A시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
  2. B간선을 가중치순으로 모두 정렬하여 숲에서 사이클을 만들지 않는 간선을 하나씩 추가한다
  3. C사이클이 없어질 때까지 가장 비싼 간선을 제거한다
  4. D너비 우선 탐색을 실행하고 BFS 트리를 유지한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

슈트라센 알고리즘은 절반 크기 블록의 재귀 곱셈을 8번 대신 7번 사용하여 행렬을 곱합니다. 실행 시간은 얼마입니까?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(nlog₂ 7), 약 n2.81
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.자료구조보통

균형 이진 탐색 트리에서 키를 탐색하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.자료구조어려움

원소가 n개인 이진 최소 힙에서 임의의 키를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
11421081168413ABCDEFG

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 4단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다

이것이 답인 이유

교차 간선의 우선순위 큐를 사용하는 프림 알고리즘은 이진 힙으로 O(E log V)에 실행됩니다.

답

A · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
2.알고리즘과 복잡도

답: B · Θ(nlog₂ 7), 약 n2.81

이것이 답인 이유

a = 7, b = 2이므로 nlog₂ 7이 O(n²)의 덧셈 작업을 지배하여 약 n2.81이 됩니다.

답

B · Θ(nlog₂ 7), 약 n2.81
3.자료구조

답: C · O(log n)

이것이 답인 이유

균형 트리의 높이는 약 log₂ n이므로, 탐색은 루트에서 리프까지 하나의 경로만 따라갑니다.

답

C · O(log n)
4.자료구조

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

힙에는 어떤 서브트리에 키가 있는지에 대한 규칙이 없으므로 최악의 경우 모든 노드를 확인해야 합니다. 빠르게 찾을 수 있는 것은 최솟값뿐입니다.

답

C · O(n)
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: B

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 11, C: 4
2. C (4): E: 14, G: 8
3. G (8)
4. B (11): D: 13
5. D (13): F: 24
6. E (14): F: 20
7. F (20)

단계 4

B

답

B

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