자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열을 한 번 정렬한 뒤 이진 탐색으로 k개의 소속 질의에 답합니다. 전체 비용은 얼마입니까?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

해시 테이블의 평균 조회 시간은 O(1)인데 최악의 경우는 O(n)인 이유는 무엇입니까?

  1. A배열 접근이 O(n)이기 때문이다
  2. B많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다
  3. C키를 먼저 정렬해야 하기 때문이다
  4. D해시 함수가 느리기 때문이다
3.자료구조보통

배열에 저장된 이진 최소 힙(인덱스는 0부터 시작)에서 인덱스 i인 노드의 자식은 어디에 있습니까?

  1. Ai + 1과 i + 2
  2. B2i와 2i + 1
  3. C2i + 1과 2i + 2
  4. Di/2와 i/2 + 1
4.자료구조어려움

이중 해싱은 주로 선형 탐사의 어떤 문제를 줄입니까?

  1. A해시 함수가 필요하다는 것
  2. B키의 값을 읽는 O(n) 비용
  3. C차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)
  4. D키를 테이블에 저장해야 한다는 것
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
1312627495ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n log n + k log n)

이것이 답인 이유

정렬에 O(n log n), 질의마다 O(log n)이 듭니다. k가 크면 k번의 선형 탐색(O(nk))보다 낫습니다.

답

A · O(n log n + k log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다

이것이 답인 이유

좋은 해시 함수와 적재율(load factor)이면 버킷은 평균적으로 짧게 유지됩니다. 악의적인 입력이나 나쁜 해싱은 모든 키를 하나의 버킷에 넣을 수 있습니다.

답

B · 많은 키가 같은 버킷에서 충돌(collision)할 수 있기 때문이다
3.자료구조

답: C · 2i + 1과 2i + 2

이것이 답인 이유

0부터 시작하는 배열에서 왼쪽 자식은 2i + 1, 오른쪽 자식은 2i + 2, 부모는 ⌊(i − 1)/2⌋에 있습니다.

답

C · 2i + 1과 2i + 2
4.자료구조

답: C · 차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)

이것이 답인 이유

선형 탐사는 1씩 이동하므로 차 있는 구간이 커지고 합쳐집니다. 이중 해싱은 두 번째 해시를 이동 폭으로 사용하므로 서로 다른 키가 서로 다른 순서로 탐사합니다.

답

C · 차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)
5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

0
오일러 회로

답

오일러 회로
6.그래프 이론

답: d(F) = 24

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 13, C: 12
C (12): E: 19
B (13): D: 15, E: 18
D (15): F: 24
E (18)
F (24)

최단 경로

A → B → D → F
d(F) = 24

답

d(F) = 24

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